Математика. Курзина В.М - 152 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

152
Решение. Множителями при dx и dy являются функции, которые
можно представить каждую в виде произведения двух функций, зависящих
только от
x
и только от y . А именно:
yyN
=
)(
1
, xxM
=
)(
2
,
2
2
1)( yyN += ,
2
1
1)( xxM += .
Следовательно, уравнение может быть преобразовано в уравнение с
разделенными переменными делением его левой и правой частей (в облас-
ти, где 0≠
x
и 0≠y ) на произведение функций )()(
12
yNxM , т. е. на
xy
0
11
22
=
+
+
+
dy
y
y
dx
x
x
или dy
y
ydxx
x
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
11
.
Вычисляя неопределенные интегралы
∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ dxx
x
1
,
∫
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+− dy
y
y
1
и приравнивая их, получают общий интеграл исходного уравнения
Cy
yx
x +−−=+ ||ln
22
||ln
22
.
Упражнения
1. .0sec)1(tg3
2
=++ ydyeydxe
xx
2. dydyeydx
x
2+=
−
3. .
5,02
dydxydyx =−
4. .0cos2sin
22
=− ydxxdy 5.
3
yyyx =−
′
. 6. yxyxy
′
+=
′
−
2
1.
7.
32
)1( yyyx =+
′
− . 8.
22
xyyx −
′
=
′
. 9.
12
)4(
−
=
′
+ yyx .
10. 0tgcosln =+ yd
y
x
yd
y
. 11. .)1(
22
dxedyye
xx
=+ 12.
yxyx
eey
−+
+=
′
.
13.
.0)1(,0 ==+
′
ye
x
yy
y
14. .
1
tg
2
1
2
dy
x
e
ydxe
x
x
−
−
+
15. .
11
22
x
ydx
y
xdy
−
=
−
16. .ln
2
yyyx =
′
17.
).2cos()2cos( yxyxy
−
=
+
+
′
18.
.12cos
+
−=
′
xyyy
                                                         152

     Решение. Множителями при dx и dy являются функции, которые
можно представить каждую в виде произведения двух функций, зависящих
только от x и только от y . А именно:

                 N1 ( y ) = y , M 2 ( x ) = x , N 2 ( y ) = 1 + y 2 , M 1 ( x ) = 1 + x 2 .

      Следовательно, уравнение может быть преобразовано в уравнение с
разделенными переменными делением его левой и правой частей (в облас-
ти, где x ≠ 0 и y ≠ 0 ) на произведение функций M 2 ( x) N1 ( y ) , т. е. на xy

          1 + x2      1 + y2            ⎛1    ⎞       ⎛    1⎞
                 dx +        dy = 0 или ⎜ + x ⎟dx = −⎜⎜ y + ⎟⎟dy .
             x           y              ⎝x    ⎠       ⎝    y⎠

          Вычисляя неопределенные интегралы

                                        ⎛1     ⎞          ⎛     1⎞
                                       ∫⎝ x ⎠
                                        ⎜  + x ⎟ dx , − ∫ ⎝ y ⎟⎟⎠dy
                                                          ⎜
                                                          ⎜ y +


и приравнивая их, получают общий интеграл исходного уравнения

                                           x2   y2
                                 ln | x | + = −    − ln | y | +C .
                                           2    2


                                     Упражнения
      x                   x      2
1. 3e tgydx + (1 + e ) sec ydy = 0. 2. ydx = e − x dy + 2dy 3. x 2 dy − y 0,5 dx = dy.

4. sin 2 xdy − 2 cos 2 ydx = 0.                5. xy ′ − y = y 3 .            6. y − xy ′ = 1 + x 2 y ′ .

7. ( x 2 − 1) y ′ + y = y 3 .                 8. x 2 y ′ = y ′ − x 2 .         9. ( x 2 + 4) y ′ = y −1 .

10. ln cos ydy + xtgydy = 0 .              11. (1 + e 2 x ) y 2 dy = e x dx. 12. y ′ = e x + y + e x − y .

    yy ′                                    1+ x 2           e2x                    xdy            ydx
13.      + e y = 0, y (1) = 0.       14. e           tgydx −      dy.      15.                =              .
     x                                                       x −1                  1 − y2         1 − x2

16. x 2 y ′ ln y = y.     17. y ′ + cos( x + 2 y ) = cos( x − 2 y ). 18. y ′y cos y = −2 x + 1.

Страницы