Математика. Курзина В.М - 150 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

150
Соответственно, общим интегралом дифференциального уравнения
называют уравнение
0),,(
=
Φ
C
y
x
,
неявно задающее
y как функцию аргумента
x
и произвольной постоянной
C
, а частным интегралом дифференциального уравнения называют ин-
теграл, удовлетворяющий заданному начальному условию
00
)( yxy =
и не
содержащий произвольной постоянной.
Особым решением называется такое решение, во всех точках которо-
го условие единственности не выполняется. Особые решения не получают-
ся из общего интеграла уравнения ни при каких значениях произвольной
постоянной.
Упражнения
Проверить, что заданные функции являются решениями записанных
дифференциальных уравнений:
1.
)
42
(tgln)(
π
+=
x
xf − решение уравнения
.0lncos
=
−
′
yyxy
2.
C
x
y =cossin − общий интеграл уравнения .tgtg yxy
=
′
3.
2
1
2
1
1
1
11
11
Ce
C
xe
C
y
xCxC
+−=
++
− общее решение уравнения
)./ln( xyyyx
′
′
=
′′
4. )2sin2cos(3
21
xCxCey
x
++=
−
является общим решением уравнения
.52 yyy
−
′
−=
′′
5.
)(
1
Ce
x
y
x
+= − общее решение уравнения .
x
eyyx =+
′
6.
5,0
)1(
2
−
+±=
x
Cey − общее решение уравнения .
3
xyxyy =+
′
5.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися
переменными
Уравнение
)()(
21
yfxfy
=
′
, 
                                               150

     Соответственно, общим интегралом дифференциального уравнения
называют уравнение
                             Φ ( x, y , C ) = 0 ,

неявно задающее y как функцию аргумента x и произвольной постоянной
C , а частным интегралом дифференциального уравнения называют ин-
теграл, удовлетворяющий заданному начальному условию y ( x0 ) = y0 и не
содержащий произвольной постоянной.
      Особым решением называется такое решение, во всех точках которо-
го условие единственности не выполняется. Особые решения не получают-
ся из общего интеграла уравнения ни при каких значениях произвольной
постоянной.

                                      Упражнения

        Проверить, что заданные функции являются решениями записанных
дифференциальных уравнений:
                   x π
1. f ( x) = ln tg ( + ) − решение уравнения y ′ cos x ln y − y = 0.
                   2 4

2. sin y cos x = C − общий интеграл уравнения y ′ = tgxtgy.

         1 C1x+1 1 C1x +1
3. y =      xe  − 2e      + C 2 − общее решение уравнения xy ′′ = y ′ ln( y ′ / x).
         C1      C1

4. y = 3 + e − x (C1 cos 2 x + C 2 sin 2 x) является общим решением уравнения
 y ′′ = −2 y ′ − 5 y.

      1
5. y = (e x + C ) − общее решение уравнения xy ′ + y = e x .
      x
              2
6. y = ±(Ce x + 1) −0,5 − общее решение уравнения y ′ + xy = xy 3 .


         5.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися
                                переменными

         Уравнение
                                      y ′ = f1 ( x ) f 2 ( y ) ,

Страницы