Математика. Курзина В.М - 158 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

158
yxy
dx
dy
+=
.
Решение. Сделаем замену u
v
y
=
, получим
uvxuvvuvu =−
′
+
′
;
uvxvvuvu =−
′
+
′
)( .
Положим
0=
−
′
vv . Тогда v
dx
dv
= ; dx
v
dv
= ;
x
v
=
||ln ;
x
ev = .
Следовательно,
uxeeuxe
dx
du
x
xx
2
=⋅= .
Разделив переменные, имеем
dxxe
u
du
x
2
−
=
.
Интегрируя (справа по частям), получаем
Cexeu
xx
2422
22
+−−=
−−
;
)2(
2
+−=
−
xeCu
x
;
2
)2(
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−=
−
xeCu
x
.
Общее решение исходного уравнения имеет вид
x
exeCvuy
x
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−=⋅=
−
2
)2(
2
,
или
2
2
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−= xCey
x
.
Упражнения
1. .cos
2
xxyyx =−
′
2. .2
2
x
xexyy
−
=+
′
3. .sin1cos xyxy −=+
′
                                                    158

                                          dy
                                             =y+x y.
                                          dx

       Решение. Сделаем замену y = uv , получим

                                     u ′v + uv′ − uv = x uv ;

                                     u ′v + u (v′ − v) = x uv .

                                         dv      dv
       Положим v′ − v = 0 . Тогда           = v;    = dx ; ln | v |= x ; v = e x .
                                         dx      v
Следовательно,
                              du x                  x
                                 e = x u ⋅ e x = xe 2 u .
                              dx

Разделив переменные, имеем
                                       du     −x
                                          = xe 2 dx .
                                        u

Интегрируя (справа по частям), получаем
                                             − 2x          − 2x
                             2 u = −2 xe            − 4e          + 2C ;

                                                    −x
                                    u = C − e 2 ( x + 2) ;

                                                                      2
                                 u = ⎛⎜ C − e 2 ( x + 2) ⎞⎟ .
                                             −x

                                      ⎝                   ⎠

Общее решение исходного уравнения имеет вид

                                                                          2
                           y = u ⋅ v = ⎛⎜ C − e 2 ( x + 2) ⎞⎟ ⋅ e x ,
                                               −x

                                        ⎝                   ⎠
или
                                                                  2
                                   y = ⎛⎜ Ce 2 − x − 2 ⎞⎟ .
                                             x


                                        ⎝               ⎠

                                          Упражнения
                                                            2
1. xy ′ − y = x 2 cos x.        2. y ′ + 2 xy = xe − x .                      3. y ′ cos x + y = 1 − sin x.

Страницы