Математика. Курзина В.М - 160 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

160
5.4. Дифференциальные уравнения, приводящиеся
к дифференциальным уравнениям первого порядка
Уравнение вида
)(xfy
=
′
′
Для решения такого уравнения полезно применить замену
)(xPy
=
′
,
тогда
)(xPy
′
=
′
′
,
следовательно, исходное уравнение преобразуется в уравнение
)(xf
dx
dP
P ==
′
,
которое является уравнением первого порядка с разделяющимися пере-
менными, его общее решение
1
)()( CdxxfxP +=
∫
.
Пример 5. 9. Найти общее решение уравнения
x
ey
2
=
′′
.
Решение. Делаем замену )(xPy
=
′
, получаем уравнение первого по-
рядка с разделяющимися переменными
x
e
dx
dP
P
2
==
′
,
имеющее общее решение
1
2
2
1
)( CexP
x
+= .
Переход от )(
x
P
к )(xy
′
в последнем уравнении приводит снова к уравне-
нию с разделяющимися переменными
1
2
2
1
Ce
dx
dy
y
x
+==
′
,
его общее решение
21
2
4
1
)( CxCexy
x
++= 
                                           160

               5.4. Дифференциальные уравнения, приводящиеся
              к дифференциальным уравнениям первого порядка

                           Уравнение вида y ′′ = f ( x)
        Для решения такого уравнения полезно применить замену
                                   y ′ = P (x) ,
тогда
                                   y ′′ = P′(x) ,

следовательно, исходное уравнение преобразуется в уравнение

                                      dP
                               P′ =      = f (x) ,
                                      dx

которое является уравнением первого порядка с разделяющимися пере-
менными, его общее решение

                            P ( x) = ∫ f ( x)dx + C1 .

        Пример 5. 9. Найти общее решение уравнения

                                        y ′′ = e 2 x .

      Решение. Делаем замену y ′ = P (x) , получаем уравнение первого по-
рядка с разделяющимися переменными

                                       dP
                                P′ =      = e2x ,
                                       dx
имеющее общее решение
                                     1
                             P ( x) = e 2 x + C1 .
                                     2

Переход от P(x) к y ′(x) в последнем уравнении приводит снова к уравне-
нию с разделяющимися переменными

                                   dy 1 2 x
                            y′ =     = e + C1 ,
                                   dx 2
его общее решение
                                   1
                           y ( x) = e 2 x + C1 x + C 2
                                   4

Страницы