Математика. Курзина В.М - 161 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

161
и будет общим решением исходного уравнения.
Решение уравнений вида ),( yxfy
′
=
′
′
Отметим, что в правой части уравнения не содержится неизвестная
функция )(
x
y . Это позволяет ввести в качестве неизвестной функции )(
x
P
ее производную
)(xy
′
)(xPy
=
′
,
тогда
)(xPy
′
=
′
′
,
и заданное уравнение становится уравнением первого порядка относитель-
но новой функции )(
x
P
),( PxfP
=
′
.
Пример 5.10. Найти частное решение уравнения
xy
x
y −
′
=
′′
1
,
удовлетворяющее начальным условиям
⎩
⎨
⎧
=
′
=
.1)1(
,2)1(
y
y
Решение. Видим, что правая часть уравнения не содержит неизвест-
ную функцию y , тогда заменой )(xPy
=
′
, следовательно )(xPy
′
=
′′
можно
понизить порядок уравнения. Получим уравнение первого порядка
x
x
P
P −=
′
,
являющееся линейным уравнением. Его решение ищем в виде
)()()(
x
v
x
u
x
P
=
,
где )(
x
u , )(
x
v
– неизвестные функции.
Тогда
)()()()()( xvxuxvxuxP
′
+
′
=
′
. 
                                                     161


и будет общим решением исходного уравнения.

                      Решение уравнений вида y ′′ = f ( x, y ′)
      Отметим, что в правой части уравнения не содержится неизвестная
функция y (x) . Это позволяет ввести в качестве неизвестной функции P(x)
ее производную y ′( x)
                                 y ′ = P (x) ,
тогда
                                 y ′′ = P′(x) ,

и заданное уравнение становится уравнением первого порядка относитель-
но новой функции P(x)
                              P ′ = f ( x, P ) .

       Пример 5.10. Найти частное решение уравнения

                                                     1
                                            y ′′ =     y′ − x ,
                                                     x

удовлетворяющее начальным условиям

                                          ⎧ y (1) = 2,
                                          ⎨
                                          ⎩ y ′(1) = 1.

     Решение. Видим, что правая часть уравнения не содержит неизвест-
ную функцию y , тогда заменой y ′ = P (x) , следовательно y ′′ = P′(x) можно
понизить порядок уравнения. Получим уравнение первого порядка

                                                P
                                         P′ =     − x,
                                                x

являющееся линейным уравнением. Его решение ищем в виде

                                     P ( x ) = u ( x )v ( x ) ,

где u (x) , v(x) – неизвестные функции.
Тогда
                          P′( x) = u ′( x)v( x) + u ( x)v′( x) .

Страницы