Математика. Курзина В.М - 163 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

163
из которой
1
1
=C ,
3
4
2
=C , а искомое частное решение пишется в виде
3
4
3
2
3
++−= x
x
y .
Решение уравнений вида ),( yyfy
′
=
′
′
.
Правая часть приведенного уравнения явно не содержит
x
– аргу-
мента неизвестной функции. Для решения такого уравнения целесообразно
ввести новую функцию )( y
P
, для которой y является аргументом
yyP
′
=
)(
,
следовательно
PyPyyPyPy
x
)()())((
′
=
′
′
=
′
=
′′
,
тогда заданное уравнение станет уравнением первого порядка относитель-
но )( y
P
),()( PyfPyPy
=
′
=
′′
.
Решая это уравнение, найдем
P
как функцию y и
1
C
),(
1
CyPP
=
.
Выполнив обратную замену
),(
1
CyP
dx
dy
y ==
′
,
получим уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.
Разделив переменные, имеем
dx
CyP
dy
=
),(
1
.
После вычисления интегралов от левой и правой частей, приходим к об-
щему интегралу исходного уравнения
0),,,(
21
=
Φ CCyx
.
Пример 5.11 Определить общий интеграл уравнения
2
)(1 yy
′
−=
′′
.
Решение. В правой части уравнения явно не присутствует аргумент
неизвестной функции, следовательно можно применить замену 
                                             163

                        4
из которой C1 = 1, C 2 = , а искомое частное решение пишется в виде
                        3
                                   x3       4
                              y = − + x2 + .
                                   3        3

                    Решение уравнений вида y ′′ = f ( y, y ′) .
      Правая часть приведенного уравнения явно не содержит x – аргу-
мента неизвестной функции. Для решения такого уравнения целесообразно
ввести новую функцию P ( y ) , для которой y является аргументом

                                         P( y ) = y ′ ,
следовательно
                     y ′′ = ( P( y ))′x = P′( y ) y ′ = P′( y ) P ,

тогда заданное уравнение станет уравнением первого порядка относитель-
но P ( y )
                          y ′′ = P′( y ) P = f ( y, P ) .

Решая это уравнение, найдем P как функцию y и C1

                                  P = P( y, C1 ) .
Выполнив обратную замену
                                     dy
                              y′ =      = P ( y, C1 ) ,
                                     dx

получим уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.
Разделив переменные, имеем
                              dy
                                      = dx .
                           P( y, C1 )

После вычисления интегралов от левой и правой частей, приходим к об-
щему интегралу исходного уравнения

                              Φ ( x, y, C1 , C2 ) = 0 .

     Пример 5.11 Определить общий интеграл уравнения
                               y ′′ = 1 − ( y ′) 2 .
     Решение. В правой части уравнения явно не присутствует аргумент
неизвестной функции, следовательно можно применить замену

Страницы