Математика. Курзина В.М - 164 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

164
yyP
′
=
)( ,
тогда
PyPy )(
′
=
′
′
,
и заданное уравнение примет вид
2
1
P
P
P
−
=
′
,
т.е. порядок уравнения понижен на единицу, причем получено уравнение с
разделяющимися переменными. Разделив переменные, имеем
dy
P
PdP
=
−
2
1
.
После интегрирования
1
2
)(1 CyyP +=−−
или
2
1
2
)(1 CyP +=− ,
откуда
dx
dy
CyP =+−=
2
1
)(1.
Получено уравнение с разделяющимися переменными. Общий интеграл
последнего уравнения
21
)arcsin( CCyx
+
+
=
является общим интегралом исходного уравнения, и общее решение урав-
нения имеет вид
12
)sin( CCxy
−
−
=
.
Упражнения
1. .0)0(,
8
1
)0(,0)0(,
32
1
)0(,cos
2IV
=
′′′
=
′′
=
′
== yyyyxy 2.
.32 xxy
−
=
′′′
3.
.2)0(,0)0(,0)0(,sin
=
′
′
=
′
=
=
′′′
yyyxxy 4. .6
x
y =
′′
5. .3
x
xey =
′′′
6. .2sinsin
4
xxy =
′′′
7. .1sincos
22
=
′′
xxy 8.
.6sin4cos xxy
=
′
′
9. .6
2−
=
′′
xy
10. .3)0(,1)0(,0)0(,2cos
=
′
′
=
′
==
′′′
yyyxxy 11. .7
2
xy +=
′′′
12. .2
2 x
ey =
′′′
13. .4)0(,2)0(,0)0(,
3
=
′′
=
′
==
′′′
−
yyyxey
x
14. .sincossin2
32
xxxy −=
′′
                                                      164

                                              P( y ) = y ′ ,
тогда
                                                y ′′ = P′( y ) P ,

и заданное уравнение примет вид
                                           PP′ = 1 − P 2 ,

т.е. порядок уравнения понижен на единицу, причем получено уравнение с
разделяющимися переменными. Разделив переменные, имеем

                                              PdP
                                                       = dy .
                                             1 − P2

После интегрирования
                                      − 1 − P 2 ( y ) = y + C1
или
                                        1 − P 2 = ( y + C1 ) 2 ,
откуда
                                                                dy
                                    P = 1 − ( y + C1 ) 2 =         .
                                                                dx

Получено уравнение с разделяющимися переменными. Общий интеграл
последнего уравнения
                        x = arcsin( y + C1 ) + C 2
является общим интегралом исходного уравнения, и общее решение урав-
нения имеет вид
                         y = sin( x − C2 ) − C1 .

                                           Упражнения
                             1                      1
1. y IV   = cos 2 x, y (0) = , y ′(0) = 0, y ′′(0) = , y ′′′(0) = 0.                  2. y ′′′x = 2 − 3x.
                            32                      8

3. y ′′′ = x sin x, y (0) = 0, y ′(0) = 0, y ′′(0) = 2.            4. y ′′ = 6 x.         5. y ′′′ = 3 xe x .

6. y ′′′ sin 4 x = sin 2 x. 7. y ′′ cos 2 x sin 2 x = 1. 8. y ′′ = cos 4 x sin 6 x.        9. y ′′ = 6 x −2 .

10. y ′′′ = x cos 2 x, y (0) = 0, y ′(0) = 1, y ′′(0) = 3. 11. y ′′′ = 7 + x 2 .         12. 2 y ′′′ = e 2 x .

13. y ′′′ = xe −3 x , y (0) = 0, y ′(0) = 2, y ′′(0) = 4.            14. y ′′ = 2 sin x cos 2 x − sin 3 x.

Страницы