Математика. Курзина В.М - 165 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

165
15. .2)32(
2
yyy
′
=+
′′
16. .2)0(,1)0(,
2
=
′
=
′
=
′′
yyyyy 17. .19
2
yy
′
=−
′′
18. .416
2
yy
′
+=
′′
19. .ln
22
yyyyy +
′
=
′′
20. .0)ln1()ln1(
2
=
′
++
′′
− yyyyy
21. .)1(
2
yyyy
′
+
′
=+
′′
22. .yyy
′
=
′′
23. .
2
yyy
′
=
′′
24. .0)(
2
=
′
++
′′′
yyyy
25. .412
2
−
′′
=−
′′′′′
yyyx 26. .1)0(,0)0(,1 =
′
=
′
=−
′′
yyeyy
y
27. .125
2
yy
′
=−
′′
28. .2sinsincos xxyxy =
′
−
′′
29. .
3x
eyy =
′
−
′′
30. .)ln(2
2
x
y
xyyy =−
′
+
′′
5.5. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами
Уравнение вида
)()()()(
321
xgyxayxayxa
=
+
′
+
′
′
называют
линейным уравнением второго порядка, )(
1
xa , )(
2
xa , )(
3
xa –
известные непрерывные функции.
Уравнение называется
однородным, если стоящая в правой части его
функция )(
x
g
тождественно равна нулю. Если 0)(
≠
x
g
, уравнение назы-
вают
линейным неоднородным или линейным с правой частью.
Пример 5.12. Уравнение
0cosln
3
=+
′
−
′′
xyxyxyx
является однородным линейным дифференциальным уравнением второго
порядка.
Пример 5.13. Уравнение
xyxyxxye
x
sin22ln
2
=−
′
+
′′
является линейным неоднородным.
Линейное дифференциальное уравнение второго порядка, у которо-
го коэффициенты )(
1
xa , )(
2
xa , )(
3
xa – постоянные величины
321
,, bbb , на-
зывается
линейным дифференциальным уравнением с постоянными ко-
эффициентами
.
Его решения находятся с помощью квадратного уравнения
0
32
2
1
=++ bkbkb ,
которое называют
характеристическим уравнением. 
                                                       165


15. y ′′(2 y + 3) = 2 y ′ 2 .   16. yy ′′ = y ′ 2 , y (0) = 1, y ′(0) = 2.           17. 9 y ′′ − 1 = y ′ 2 .

18. 16 y ′′ = 4 + y ′ 2 . 19. yy ′′ = y ′ 2 + y 2 ln y.     20. y (1 − ln y ) y ′′ + (1 + ln y ) y ′ 2 = 0.

21. y ′′(1 + y ) = y ′ 2 + y ′. 22. y ′′ y = y ′. 23. y ′′y = y ′ 2 . 24. y ′′( y ′ + y ) + y ′ 2 = 0.

25. 2 xy ′′′y ′′ − 1 = y ′′ 2 − 4. 26. y ′′ − 1 = y ′e y , y (0) = 0, y ′(0) = 1. 27. 25 y ′′ − 1 = y ′ 2 .

                                                                                                    y2
28. y ′′ cos x − y ′ sin x = sin 2 x.     29. y ′′ − y ′ = e .3x
                                                                        30. y ′′ + 2 y ′(− y ln x) = .
                                                                                                    x


        5.5. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с
             постоянными коэффициентами

        Уравнение вида
                                   a1 ( x) y ′′ + a2 ( x) y ′ + a3 ( x) y = g ( x)

называют линейным уравнением второго порядка, a1 ( x) , a2 ( x) , a3 ( x) –
известные непрерывные функции.
      Уравнение называется однородным, если стоящая в правой части его
функция g (x) тождественно равна нулю. Если g ( x) ≠ 0 , уравнение назы-
вают линейным неоднородным или линейным с правой частью.
      Пример 5.12. Уравнение
                              ln xy ′′ − x 3 y ′ + yx cos x = 0
является однородным линейным дифференциальным уравнением второго
порядка.
      Пример 5.13. Уравнение
                           e x y ′′ + x ln xy ′ − 2 x 2 y = sin2 x
является линейным неоднородным.
       Линейное дифференциальное уравнение второго порядка, у которо-
го коэффициенты a1 ( x) , a2 ( x) , a3 ( x) – постоянные величины b1 , b2 , b3 , на-
зывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными ко-
эффициентами.
      Его решения находятся с помощью квадратного уравнения

                                             b1k 2 + b2 k + b3 = 0 ,

которое называют характеристическим уравнением.

Страницы