Математика. Курзина В.М - 166 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

166
Возможны следующие три случая:
1. Корни характеристического уравнения
1
k и
2
k действительны и
различны. Тогда частными решениями дифференциального уравнения бу-
дут функции
xk
ey
1
1
=
и
xk
ey
2
2
=
, и общим решением уравнения будет
xkxk
eCeCy
21
21
+= .
2. Корни характеристического уравнения действительны и одинако-
вы
=
1
k
2
k . Частными решениями в этом случае будут функции
xk
ey
1
1
= и
xk
xey
1
2
= , которые линейно независимы, поэтому общим решением урав-
нения будет функция
xkxk
xeCeCy
11
21
+=
.
3. Корни характеристического уравнения комплексные и различные:
β+α= ix
1
,
β
−
α= ix
2
, где α и
β
– действительные числа, причем
α
–
действительная часть, а β – мнимая часть комплексного корня:
2
1
b
−
=α
,
2
4
2
2
1
bb −
=β
.
Общее решение уравнения может быть записано в виде
+β=
α
xeCy
x
cos
1
xeC
x
β
α
sin
2
.
Пример 5.14. Найти частное решение дифференциального уравнения
076
=
−
′
+
′
′
yyy ,
удовлетворяющее начальным условиям
⎩
⎨
⎧
=
′
=
.0)0(
,1)0(
y
y
Решение. Это линейное однородное уравнение с постоянными коэф-
фициентами, его характеристическое уравнение
076
2
=
−
+
k
k
.
Корнями уравнения являются 1
1
=
k , 7
2
−
=
k , т.е. они действительны и раз-
личны, поэтому общим решением заданного уравнения будет функция
xx
eCeCy
7
21
−
+= .
Подставим общее решение в начальные условия 
                                           166

     Возможны следующие три случая:
     1. Корни характеристического уравнения k1 и k 2 действительны и
различны. Тогда частными решениями дифференциального уравнения бу-
дут функции y1 = e k1x и y 2 = e k2 x , и общим решением уравнения будет
y = C1e k1x + C2 e k2 x .
      2. Корни характеристического уравнения действительны и одинако-
вы k1 = k 2 . Частными решениями в этом случае будут функции y1 = e k1x и
y 2 = xe k1x , которые линейно независимы, поэтому общим решением урав-
нения будет функция y = C1e k1x + C2 xe k1x .
      3. Корни характеристического уравнения комплексные и различные:
x1 = α + iβ , x2 = α − iβ , где α и β – действительные числа, причем α –
действительная часть, а β – мнимая часть комплексного корня:

                             − b1      b12 − 4b2
                          α=      , β=           .
                              2            2

     Общее решение уравнения может быть записано в виде

                          y = C1e αx cos βx + C 2 e αx sin βx .

     Пример 5.14. Найти частное решение дифференциального уравнения

                                  y ′′ + 6 y ′ − 7 y = 0 ,

удовлетворяющее начальным условиям

                                  ⎧ y (0) = 1,
                                  ⎨
                                  ⎩ y ′(0) = 0.

     Решение. Это линейное однородное уравнение с постоянными коэф-
фициентами, его характеристическое уравнение

                               k 2 + 6k − 7 = 0 .

Корнями уравнения являются k1 = 1 , k 2 = −7 , т.е. они действительны и раз-
личны, поэтому общим решением заданного уравнения будет функция
                          y = C1e x + C 2 e −7 x .
Подставим общее решение в начальные условия

Страницы