Математика. Курзина В.М - 168 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

168
Решение линейных неоднородных уравнений
Теорема. Общее решение линейного неоднородного уравнения
)(
321
xfybybyb
=
+
′
+
′
′
равно сумме двух слагаемых
)(
~
)()(
0
xyxyxy
+
=
,
где )(
0
xy – общее решение однородного уравнения
0
321
=
+
′
+
′
′
ybybyb ,
)(
~
x
y – частное решение неоднородного уравнения.
1.
Пусть правая часть представляет произведение показатель-
ной функции на многочлен степени n :
)()( xPexf
n
x
α
= ,
где постоянная
α
не является корнем характеристического уравнения
0
32
2
1
=++ bkbkb , а многочлен )(xP
n
записывается в виде
nn
nnn
n
axaxaxaxaxP +++++=
−
−−
1
2
2
1
10
)( K .
Тогда частное решение неоднородного уравнения )(
~
x
y рекоменду-
ется отыскивать в виде
)()()(
~
1
2
2
1
10
xQebxbxbxbxbexy
n
x
nn
nnnx
α
−
−−α
=+++++= K .
Порядок определения пока неизвестных коэффициентов
0
b ,
1
b ,...,
n
b будет
виден на конкретном примере.
Пример 5.17. Найти общее решение уравнения
x
exyyy
22
65 =−
′
+
′′
.
Решение. Определяем общее решение соответствующего однородно-
го уравнения
065
=
−
′
+
′
′
yyy ,
это функция
xx
eCeCxy
6
21
)(
−
+= .
Частное решение заданного уравнения следует искать в виде 
                                                  168

                     Решение линейных неоднородных уравнений

      Теорема. Общее решение линейного неоднородного уравнения

                                     b1 y ′′ + b2 y ′ + b3 y = f ( x)

равно сумме двух слагаемых
                          y ( x) = y0 ( x) + ~
                                             y ( x) ,

где y0 ( x) – общее решение однородного уравнения
                             b1 y ′′ + b2 y ′ + b3 y = 0 ,
~y ( x) – частное решение неоднородного уравнения.
        1.       Пусть правая часть представляет произведение показатель-
                 ной функции на многочлен степени n :

                                          f ( x) = e αx Pn ( x) ,

где постоянная α не является корнем характеристического уравнения
b1k 2 + b2 k + b3 = 0 , а многочлен Pn (x) записывается в виде

                  Pn ( x) = a0 x n + a1 x n−1 + a2 x n−2 + K + an−1 x + an .

      Тогда частное решение неоднородного уравнения ~
                                                    y ( x) рекоменду-
ется отыскивать в виде

         ~
         y ( x) = e αx (b0 x n + b1 x n−1 + b2 x n−2 + K + bn−1 x + bn ) = e αx Qn ( x) .

Порядок определения пока неизвестных коэффициентов b0 , b1 ,..., bn будет
виден на конкретном примере.
      Пример 5.17. Найти общее решение уравнения
                                y ′′ + 5 y ′ − 6 y = x 2 e 2 x .
      Решение. Определяем общее решение соответствующего однородно-
го уравнения
                              y ′′ + 5 y ′ − 6 y = 0 ,
это функция
                           y ( x) = C1e x + C2 e −6 x .

Частное решение заданного уравнения следует искать в виде

Страницы