Математика. Курзина В.М - 169 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

169
)()(
~
21
2
0
bxbxbexy
x
++=
α
,
где коэффициенты
0
b ,
1
b ,
2
b – пока неизвестны.
Для подстановки )(
~
x
y в исходное уравнение определяем ее первую и вто-
рую производные
=++++=
′
)2()(2
~
10
2
21
2
0
2
bxbebxbxbey
xx
)2)(24(
2110
2
0
2
bbbbxxbe
x
++++= ,
))232()2(44(
~
21010
2
0
2
bbbbbxxbey
x
+++++=
′′
,
уравнение примет вид
++++++ ))232()2(44(
21010
2
0
2
bbbbbxxbe
x
−+++++ ))2()(24(5
2110
2
0
2
bbbbxxbe
x
xx
exbxbxbe
22
21
2
0
2
)(6 =++− .
Сокращая на
x
e
2
и приводя подобные, получаем
2
21010
2
0
)682()818(8 xbbbbbxxb =+++++
– равенство двух многочленов. Приравниваем коэффициенты при одина-
ковых степенях
x
.
При
2
x
: 18
0
=
b ,
при
1
x
: 0818
10
=
+
bb ,
при
0
x
: 0682
210
=+
+
bbb .
Из полученной системы алгебраических уравнений относительно
0
b ,
1
b ,
2
b получим
8
1
0
=b ,
32
9
1
−=b ,
3
1
2
=b ,
следовательно,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−=
3
1
32
9
8
1
)(
~
22
xxexy
x
,
тогда общее решение уравнения
xx
eCeCxy
6
21
)(
−
+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−+
3
1
32
9
8
1
22
xxe
x
. 
                                                   169

                              ~
                              y ( x) = e αx (b0 x 2 + b1 x + b2 ) ,

где коэффициенты b0 , b1 , b2 – пока неизвестны.
Для подстановки ~
                y ( x) в исходное уравнение определяем ее первую и вто-
рую производные
               ~
               y ′ = 2e 2 x (b0 x 2 + b1 x + b2 ) + e 2 x (2b0 x + b1 ) =

                      = e 2 x (4b0 x 2 + 2 x(b0 + b1 ) + b1 + 2b2 ) ,

                    ~
                    y ′′ = e 2 x (4b0 x 2 + 4 x(2b0 + b1 ) + (2b0 + 3b1 + 2b2 )) ,

уравнение примет вид
                 e 2 x (4b0 x 2 + 4 x(2b0 + b1 ) + (2b0 + 3b1 + 2b2 )) +

                         + 5e 2 x (4b0 x 2 + 2 x(b0 + b1 ) + (b1 + 2b2 )) −

                         − 6e 2 x (b0 x 2 + b1 x + b2 ) = x 2 e 2 x .

Сокращая на e 2 x и приводя подобные, получаем
                 8b0 x 2 + x(18b0 + 8b1 ) + (2b0 + 8b1 + 6b2 ) = x 2
– равенство двух многочленов. Приравниваем коэффициенты при одина-
ковых степенях x .
     При x 2 : 8b0 = 1 ,
      при x1 : 18b0 + 8b1 = 0 ,
       при x 0 : 2b0 + 8b1 + 6b2 = 0 .
       Из полученной системы алгебраических уравнений относительно b0 ,
b1 , b2 получим
                                     1            9    1
                              b0 = , b1 = − , b2 = ,
                                     8           32    3
следовательно,
                            ~               ⎛1       9 1⎞
                             y ( x) = e 2 x ⎜ x 2 − x + ⎟ ,
                                            ⎝8      32 3⎠
тогда общее решение уравнения

                                                       ⎛1      9  1⎞
                    y ( x) = C1e x + C2 e −6 x + e 2 x ⎜ x 2 − x + ⎟ .
                                                       ⎝8     32  3⎠

Страницы