Математика. Курзина В.М - 171 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

171
где
1
d ,
2
d ,
1
f ,
2
f – неизвестные пока коэффициенты.
Найдем )(
~
xy
′
и )(
~
xy
′
′
, после упрощения выражения
))),32(
)32((3sin))33()32((3(cos)(
~
221
112111
2
dff
dfxxfdfdxxexy
x
−++
+−++++=
′
))).61556()65((3sin
))6698()125((3(cos)(
~
212111
212111
2
ddffdfxx
ffddfdxxexy
x
−−−+−−+
+++−++−=
′′
Подставив
)(
~
xy
′
и
)(
~
xy
′′
в заданное уравнение, после упрощения по-
лучим
=−−−+−−+
+++−++−
)))21151111()21((3sin
))12698()125((3(cos
212111
212111
2
ddffdfxx
ffddfdxxe
x
))10(3sin)01(3(cos
2
−++= xxxxe
x
.
Сокращаем равенство на
x
e
2
, так как 0
2
≠
x
e .
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
x
в множите-
лях при
x
3cos и
x
3sin , приходим к системе уравнений относительно
1
d ,
2
d ,
1
f ,
2
f .
При
x
3cos
1
x
: 127
11
=
+− fd ,
0
x
: 02761523
2121
=
+
+
− ffdd ,
при
x
3sin
1
x
: 021
11
=
−− fd ,
0
x
: 111112115
2121
=
−
+
−− ffdd .
Решив систему, получаем
568
1
1
−=d ,
568
17
2
=d ,
568
21
1
=f ,
568
173
2
=f ,
следовательно, общее решение заданного в примере уравнения можно за-
писать окончательно 
                                                   171

где d1 , d 2 , f1 , f 2 – неизвестные пока коэффициенты.
Найдем ~   y ′( x) и ~ y ′′( x) , после упрощения выражения
       ~
       y ′( x) = e 2 x (cos 3 x( x(2d1 + 3 f1 ) + (3d1 + 3 f 2 )) + sin 3 x( x(2 f1 − 3d1 ) +


        + ( f1 + 2 f 2 − 3d 2 ))),

        ~
        y ′′( x) = e 2 x (cos 3 x( x(−5d1 + 12 f1 ) + (8d1 − 9d 2 + 6 f1 + 6 f 2 )) +


        + sin 3 x( x(−5 f1 − 6d1 ) + (6 f1 − 5 f 2 − 15d1 − 6d 2 ))).

     Подставив ~      y ′( x) и ~
                                y ′′( x) в заданное уравнение, после упрощения по-
лучим
     e 2 x (cos 3 x( x(−5d1 + 12 f1 ) + (8d1 − 9d 2 + 6 f1 + 12 f 2 )) +


        + sin 3 x( x(− f1 − 21d1 ) + (11 f1 − 11 f 2 − 15d1 − 21d 2 ))) =

        = e 2 x (cos 3 x(1x + 0) + sin 3 x(0 x − 1)) .

Сокращаем равенство на e 2 x , так как e 2 x ≠ 0 .
        Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в множите-
лях при cos 3 x и sin 3x , приходим к системе уравнений относительно d1 ,
d 2 , f1 , f 2 .
При cos 3 x             x1 : − d1 + 27 f1 = 1 ,
                        x 0 : 23d1 − 15d 2 + 6 f1 + 27 f 2 = 0 ,

при sin 3 x             x1 : − 21d1 − f1 = 0 ,
                 x 0 : − 15d1 − 21d 2 + 11 f1 − 11 f 2 = 1 .
Решив систему, получаем

                                 1         17          21        173
                       d1 = −       , d2 =     , f1 =     , f2 =     ,
                                568        568        568        568

следовательно, общее решение заданного в примере уравнения можно за-
писать окончательно

Страницы