Математика. Курзина В.М - 170 стр.

                                                 170

     2. Пусть правая часть уравнения представлена функцией вида

                                         f ( x) = e αx Pn ( x) ,

где α – корень первой кратности характеристического уравнения. Тогда
частное решение уравнения можно отыскать в виде

                                    ~
                                    y ( x) = e αx xQn ( x) ,

где Qn (x) – тот же многочлен n с коэффициентами b0 , b1 ,..., bn .
      3. Пусть правая часть уравнения тот же вид, что и в п.п. 1 и 2, но α –
корень второй кратности характеристического уравнения. Частное реше-
ние неоднородного линейного уравнения в этом случае следует принять в
виде
                             ~
                             y ( x) = e αx x 2Qn ( x) ,
где Qn ( x) – описанный в п.п. 1 и 2 многочлен, его коэффициенты находят
как в п. 1.
      4. Рассмотрим теперь правую часть уравнения в виде

                         f ( x) = Pn ( x)e αx cos βx + Qm ( x)e αx sin βx ,

причем комплексное число α + iβ не является корнем характеристического
уравнения. Pn (x) и Qm (x) – многочлены степени n и m соответственно.
     Тогда частное решение уравнения целесообразно строить в виде
суммы двух слагаемых

                   ~
                   y ( x) = M p ( x)e αx cos βx + N p ( x)e αx sin βx ,

где M p (x) , N p (x) – многочлены степени p , p – наибольшее из чисел n и
m . Порядок действия при отыскании коэффициентов многочленов M p (x)
и N p (x) показан в следующем примере.
       Пример 5. 18. Найти общее решение дифференциального уравнения

                      y ′′ + 5 y ′ − 6 y = e 2 x x cos 3x + e 2 x ( x − 1) sin 3x .

     Решение. В соответствии со сказанным выше

               ~
               y ( x) = e 2 x (d1 x + d 2 ) cos 3x + e 2 x ( f1 x + f 2 ) sin 3x ,