Математика. Курзина В.М - 157 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

157
∫∫
=
x
dx
u
du
или
C
x
u
+
=
||l
n
||l
n
.
Постоянную
C
полагаем равной нулю, тогда
x
u
=
.
Полученное значение
u подставим в уравнение (*), получаем уравнение с
разделяющимися переменными
1+= xx
dx
dv
.
Разделяем переменные, интегрируем
∫∫
+
= dx
x
x
dv
1
,
получаем функцию
v
C
x
x
v
+
+
=
||l
n
.
Итак, общее решение исходного уравнения
)||ln(
C
x
x
x
u
v
y
+
+
=
= .
Подставив начальное условие, получаем уравнение для отыскания посто-
янной
C
)1ln1(12
C
+
+
=
,
откуда 1
=
C
, тогда искомое частное решение запишется в виде
)1||ln(
+
+
=
x
x
x
y .
Уравнение Бернулли
Подстановку )()()(
x
v
x
u
x
y
⋅
= , примененную для решения линейного
уравнения первого порядка, можно использовать для решения дифферен-
циального уравнения Бернулли
)()(
21
xfyxyf
dx
dy
k
+= ,
в котором 0
≠
, 1≠
, а )(
1
xf , )(
2
xf – известные функции.
Пример 5.8. Найти общее решение дифференциального уравнения 
                                              157

                          du    dx
                      ∫   u
                             =∫
                                 x
                                   или ln | u |= ln | x | +C .


     Постоянную C полагаем равной нулю, тогда u = x .
Полученное значение u подставим в уравнение (*), получаем уравнение с
разделяющимися переменными
                             dv
                                x = x + 1.
                             dx

Разделяем переменные, интегрируем

                                             x +1
                                  ∫ dv = ∫     x
                                                  dx ,


получаем функцию v
                                 v = x + ln | x | +C .

     Итак, общее решение исходного уравнения

                             y = uv = x( x + ln | x | +C ) .

Подставив начальное условие, получаем уравнение для отыскания посто-
янной C
                          2 = 1(1 + ln1 + C ) ,

откуда C = 1, тогда искомое частное решение запишется в виде

                                y = x( x + ln | x | +1) .

                                  Уравнение Бернулли

     Подстановку y ( x) = u ( x) ⋅ v( x) , примененную для решения линейного
уравнения первого порядка, можно использовать для решения дифферен-
циального уравнения Бернулли

                                  dy
                                     = yf1 ( x) + y k f 2 ( x) ,
                                  dx

в котором k ≠ 0 , k ≠ 1 , а f1 ( x) , f 2 ( x) – известные функции.
      Пример 5.8. Найти общее решение дифференциального уравнения

Страницы