Математика. Курзина В.М - 233 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

233
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Линейные пространства
В А Р И А Н Т 1
1. В линейном пространстве V
3
заданы векторы
x
1
= (2, 3, а
1
),
x
2
= (−1,0, − а
2
),
x
3
= (а
3
,2, 2). Выясните, является ли система этих векто-
ров линейно зависимой. Если система линейно зависима, то найти зависи-
мость между векторами (нулевую нетривиальную комбинацию векторов).
2. Найти координаты многочлена
Р
3
(х) = а
1
+ а
2
х +а
3
х
2
+ а
4
х
3
в бази-
се 1, (
х −1), (х −1)
2
, (х −1)
3
.
3. Найти какой-нибудь базис и размерность подпространства
L про-
странства
R
3
, если L задано уравнением х
1
− а
2
х
2
+ а
3
х
3
= 0 .
4. Найти размерность и базис линейной оболочки следующих векто-
ров:
x
1
= (1, − а
1
, 1),
x
2
= (а
2
, −2, −1) ,
x
3
= (−1 , −2, а
3
).
5. Проверить, что векторы
e
1
= (1, 1, 0), e
2
= (3, −3, 4), e
3
= (−2, 2, 3)
образуют ортогональный базис, и для вектора
x
= (а
1
, а
2
, а
3
) найти раз-
ложение по этому базису.
6. Определить координаты заданных векторов в базисе
e , если в ба-
зисе
e
′
векторы имеют координаты:
v
1
= (а
1
, −1, 1),
v
2
= (3, −2, − а
2
),
v
3
= (−1, − а
3
, −3 ) соответственно, а сами базисы связаны уравнениями
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
′
+
′
+
′
−=
′
−
′
=
′
+
′
=
.
;2
;
3213
212
211
eeee
eee
eee
В А Р И А Н Т 2
1. В линейном пространстве
V
3
заданы векторы
x
1
= (1 , 4 , а
1
),
x
2
= (1, −1, а
2
) ,
x
3
= (а
3
, 1, −6). Выясните, является ли система этих векто-
ров линейно зависимой. Если система линейно зависима, то найти зависи-
мость между векторами (нулевую нетривиальную комбинацию векторов).
2. Найти координаты многочлена
Р
3
(х) = а
1
+ а
2
х +а
3
х
2
+ а
4
х
3
в ба-
зисе 1, (1+
х), (1+х)
2
, (1+х)
3
.
3. Найти базис и размерность подпространства
L пространства R
3
,
если
L задано уравнением х
1
+ а
3
х
2
+ а
4
х
3
= 0 .
4. Найти размерность и базис линейной оболочки следующих векто-
ров:
x
1
= (−7 , а
1
, −3 ) ,
x
2
= ( а
2
, 2 , −4 ) ,
x
3
= (3 , −3 , а
3
). 
                                        233

                        КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

                           Линейные пространства

                                 ВАРИАНТ 1

       1. В линейном пространстве V 3 заданы векторы                x 1 = (2, 3, а1),
x 2 = (−1,0, − а2 ), x 3 = (а3 ,2, 2). Выясните, является ли система этих векто-
ров линейно зависимой. Если система линейно зависима, то найти зависи-
мость между векторами (нулевую нетривиальную комбинацию векторов).
       2. Найти координаты многочлена Р3(х) = а1 + а2 х +а3 х2 + а4 х3 в бази-
се 1, (х −1), (х −1)2, (х −1)3.
       3. Найти какой-нибудь базис и размерность подпространства L про-
странства R3, если L задано уравнением х1 − а2х2 + а3х3 = 0 .
       4. Найти размерность и базис линейной оболочки следующих векто-
ров: x 1 = (1, − а1 , 1), x 2 = (а2 , −2, −1) , x 3= (−1 , −2, а3).
       5. Проверить, что векторы e 1 = (1, 1, 0), e 2= (3, −3, 4), e 3= (−2, 2, 3)
образуют ортогональный базис, и для вектора x = (а1, а2, а3) найти раз-
ложение по этому базису.
       6. Определить координаты заданных векторов в базисе e , если в ба-
зисе e ′ векторы имеют координаты: v 1 = (а1, −1, 1), v 2 = (3, −2, − а2),
v 3 = (−1, − а3, −3 ) соответственно, а сами базисы связаны уравнениями
                                ⎧ e1 = e1′ + e 2′ ;
                                ⎪
                                ⎨ e 2 = 2e1′ − e 2′ ;
                                ⎪e = − e ′ + e ′ + e ′ .
                                ⎩ 3     1     2       3


                                 ВАРИАНТ 2

       1. В линейном пространстве V 3 заданы векторы x 1 = (1 , 4 , а1),
x 2 = (1, −1, а2) , x 3 = (а3, 1, −6). Выясните, является ли система этих векто-
ров линейно зависимой. Если система линейно зависима, то найти зависи-
мость между векторами (нулевую нетривиальную комбинацию векторов).
       2. Найти координаты многочлена Р3(х) = а1 + а2 х +а3 х2 + а4 х3 в ба-
зисе 1, (1+х), (1+х)2, (1+х)3.
       3. Найти базис и размерность подпространства L пространства R3,
если L задано уравнением х1 + а3х2 + а4х3 = 0 .
       4. Найти размерность и базис линейной оболочки следующих векто-
ров: x 1 = (−7 , а 1 , −3 ) , x 2 = ( а2 , 2 , −4 ) , x 3 = (3 , −3 , а3 ).

Страницы