Математика. Курзина В.М - 235 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

235
2. Найти координаты многочлена Р
3
(х) = а
1
+ а
2
х +а
3
х
2
+ а
4
х
3
в ба-
зисе 1, (
х + 2), (х + 2)
2
, (х + 2)
3
.
3. Найти какой-нибудь базис и размерность подпространства
L про-
странства
R
3
, если L задано уравнением х
1
− а
1
х
2
+ а
3
х
3
= 0 .
4. Найти размерность и базис линейной оболочки следующих векто-
ров:
x
1
= (1 , − а
3
, 1) ,
x
2
= (а
2
, 3 , −1) ,
x
3
= (−1 , −2 , а
4
).
5. Проверить, что векторы
e
1
= (1, −2, 0), e
2
= (0, 0 ,4), e
3
= (2, 1, 0)
образуют ортогональный базис, и для вектора
x
= (а
1
, а
2
, а
3
) найти разло-
жение по этому базису.
6. Определить координаты векторов
в базисе e , если в базисе e
′
эти
векторы имеют координаты:
v
1
= (а
1
, 3, 1),
v
2
= (0, 5, − а
2
),
v
3
=(9, − а
3
,10 ),
а базисы связаны уравнениями
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
′
+
′
−
′
=
′
+
′
−
′
=
′
+
′
−
′
=
.43
;826
;742
3213
3212
3211
eeee
eeee
eeee
В А Р И А Н Т 5
1. В линейном пространстве V
3
заданы векторы
x
1
= (5 , − 6 , а
1
),
x
2
= (3, −5, −а
2
),
x
3
= (а
3
, −1, 3). Выясните, является ли система этих век-
торов линейно зависимой. Если система линейно зависима, то найти зави-
симость между векторами (нулевую нетривиальную комбинацию векто-
ров).
2. Найти координаты многочлена
Р
3
(х) = а
1
+ а
2
х +а
3
х
2
+ а
4
х
3
в бази-
се 1, (2
х−1), (2х−1)
2
, (2х−1)
3
.
3. Найти какой-нибудь базис и размерность подпространства
L про-
странства
R
3
, если L задано уравнением х
1
− а
2
х
2
+ а
4
х
3
= 0.
4. Найти размерность и базис линейной оболочки следующих векто-
ров:
x
1
= (1 , −а
1
, 5) ,
x
2
= (а
2
, −2 , −3 ) ,
x
3
= (− 4 , 2 , а
3
).
5. Проверить, что векторы
e
1
= (2, 3, 5), e
2
= (2, − 3, 1),e
3
= (− 9, −4, 6)
образуют ортогональный базис, и для вектора
x
= (а
1
,а
2
,а
3
) найти раз-
ложение по этому базису.
6. Определить координаты векторов
в базисе e , если в базисе e
′
эти
векторы имеют координаты:
v
1
= (а
1
, 2, −2),
v
2
= (−3, 5,− а
2
),
v
3
=(4, − а
3
, 5),
а базисы связаны уравнениями
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
′
+
′
+
′
=
′
+
′
−
′
=
′
−
′
+
′
=
.432
;82
;5
3213
3212
3211
eeee
eeee
eeee
                                        235

      2. Найти координаты многочлена Р3(х) = а1 + а2 х +а3 х2 + а4 х3 в ба-
зисе 1, (х + 2), (х + 2)2, (х + 2)3.
      3. Найти какой-нибудь базис и размерность подпространства L про-
странства R3 , если L задано уравнением х1 − а1х2 + а3х3 = 0 .
      4. Найти размерность и базис линейной оболочки следующих векто-
ров: x 1 = (1 , − а3 , 1) , x 2 = (а2 , 3 , −1) , x 3 = (−1 , −2 , а4 ).
      5. Проверить, что векторы e 1 = (1, −2, 0), e 2 = (0, 0 ,4), e 3 = (2, 1, 0)
образуют ортогональный базис, и для вектора x = (а1, а2, а3) найти разло-
жение по этому базису.
      6. Определить координаты векторов в базисе e , если в базисе e ′ эти
векторы имеют координаты: v 1 = (а1, 3, 1), v 2 = (0, 5, − а2), v 3=(9, − а3,10 ),
а базисы связаны уравнениями
                                      ⎧e1 = 2e1′ − 4e 2′ + 7e3′ ;
                                      ⎪
                                      ⎨e 2 = 6e1′ − 2e 2′ + 8e3′ ;
                                      ⎪ e = e ′ − 3e ′ + 4e ′ .
                                      ⎩ 3      1       2      3


                                 ВАРИАНТ 5

       1. В линейном пространстве V 3 заданы векторы x 1 = (5 , − 6 , а1),
x 2 = (3, −5, −а2), x 3 = (а3, −1, 3). Выясните, является ли система этих век-
торов линейно зависимой. Если система линейно зависима, то найти зави-
симость между векторами (нулевую нетривиальную комбинацию векто-
ров).
       2. Найти координаты многочлена Р3(х) = а1 + а2 х +а3 х2 + а4х3 в бази-
се 1, (2х−1), (2х−1)2, (2х−1)3.
       3. Найти какой-нибудь базис и размерность подпространства L про-
странства R3, если L задано уравнением х1 − а2х2 + а4х3 = 0.
       4. Найти размерность и базис линейной оболочки следующих векто-
ров: x 1 = (1 , −а1 , 5) , x 2 = (а2 , −2 , −3 ) , x 3 = (− 4 , 2 , а3 ).
       5. Проверить, что векторы e 1 = (2, 3, 5), e 2= (2, − 3, 1), e 3= (− 9, −4, 6)
образуют ортогональный базис, и для вектора x = (а1 ,а2 ,а3) найти раз-
ложение по этому базису.
       6. Определить координаты векторов в базисе e , если в базисе e ′ эти
векторы имеют координаты: v 1 = (а1, 2, −2), v 2 = (−3, 5,− а2), v 3=(4, − а3, 5),
а базисы связаны уравнениями
                                     ⎧ e1 = e1′ + e 2′ − 5e3′ ;
                                     ⎪
                                     ⎨ e 2 = e1′ − 2e 2′ + 8e3′ ;
                                     ⎪e = 2e ′ + 3e ′ + 4e ′ .
                                     ⎩ 3       1        2      3

Страницы