Математика. Курзина В.М - 234 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

234
5. Проверить, что векторы e
1
= (1, −1, 1), e
2
= (3, 3, 0), e
3
= (1, −1, −2)
образуют ортогональный базис, и для вектора
x
= (−а
1
, а
2
, а
3
) найти раз-
ложение по этому базису.
6. Определить координаты векторов в базисе
e , если в базисе e
′
эти
векторы имеют координаты:
v
1
= (а
1
, 4, 6),
v
2
= (5, 5, − а
2
),
v
3
= (7, − а
3
, 1),
а базисы связаны уравнениями
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
′
+
′
+
′
=
′
−
′
−
′
=
′
+
′
+
′
=
.
;2
;43
3213
3212
3211
eeee
eeee
eeee
В А Р И А Н Т 3
1. В линейном пространстве V
3
заданы векторы
x
1
= (2, 1, а
1
),
x
2
= (−5 ,0, а
2
) ,
x
3
= (а
3
,4, 3). Выясните, является ли система этих векто-
ров линейно зависимой. Если система линейно зависима, то найти зависи-
мость между векторами (нулевую нетривиальную комбинацию векторов).
2. Найти координаты многочлена
Р
3
(х) = а
1
+ а
2
х +а
3
х
2
+ а
4
х
3
в ба-
зисе 1, (
х −2), (х −2)
2
, (х −2)
3
.
3. Найти какой-нибудь базис и размерность подпространства
L про-
странства
R
3
, если L задано уравнением х
1
− а
1
х
2
+ а
2
х
3
= 0 .
4. Найти размерность и базис линейной оболочки следующих векто-
ров:
x
1
= (1 , а
1
, 1 ),
x
2
= ( а
2
, 2 , 3 ) ,
x
3
= (1 , 2 , а
3
).
5. Проверить, что векторы
e
1
= (2,1, −2), e
2
= (−1, 4,1), e
3
= (1,0, 1)
образуют ортогональный базис, и для вектора
x
= (а
1
,а
2
,а
3
) найти раз-
ложение по этому базису.
6. Определить координаты векторов
в базисе e , если в базисе e
′
эти
векторы имеют координаты:
v
1
= (а
1
, 4, 6),
v
2
= (5, 5, − а
2
),
v
3
=(7, − а
3
,1 ), а
базисы связаны уравнениями
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
′
−
′
+
′
=
′
+
′
+
′
=
′
+
′
−
′
=
.6
;32
;524
3213
3212
3211
eeee
eeee
eeee
В А Р И А Н Т 4
1. В линейном пространстве V
3
заданы векторы
x
1
= (5 , 3 , а
1
),
x
2
= (−1, −6, −а
2
),
x
3
= (а
3
, −1,1). Выясните, является ли система этих век-
торов линейно зависимой. Если система линейно зависима, то найти зави-
симость между векторами (нулевую нетривиальную комбинацию векто-
ров). 
                                       234

      5. Проверить, что векторы e 1 = (1, −1, 1), e 2 = (3, 3, 0), e 3= (1, −1, −2)
образуют ортогональный базис, и для вектора x = (−а1 , а2 , а3) найти раз-
ложение по этому базису.
      6. Определить координаты векторов в базисе e , если в базисе e ′ эти
векторы имеют координаты: v 1 = (а1, 4, 6), v 2 = (5, 5, − а2), v 3= (7, − а3, 1),
а базисы связаны уравнениями
                            ⎧e1 = 3e1′ + e 2′ + 4e3′ ;
                            ⎪
                            ⎨ e 2 = e1′ − 2e 2′ − e3′ ;
                            ⎪ e = e ′ + e ′ + e ′.
                            ⎩ 3       1     2      3


                                ВАРИАНТ 3

       1. В линейном пространстве V 3 заданы векторы x 1 = (2, 1, а1 ),
x 2 = (−5 ,0, а2 ) , x 3 = (а3 ,4, 3). Выясните, является ли система этих векто-
ров линейно зависимой. Если система линейно зависима, то найти зависи-
мость между векторами (нулевую нетривиальную комбинацию векторов).
       2. Найти координаты многочлена Р3(х) = а1 + а2 х +а3 х2 + а4 х3 в ба-
зисе 1, (х −2), (х −2)2, (х −2)3.
       3. Найти какой-нибудь базис и размерность подпространства L про-
странства R3 , если L задано уравнением                  х1 − а1х2 + а2х3 = 0 .
       4. Найти размерность и базис линейной оболочки следующих векто-
ров: x 1 = (1 , а1 , 1 ), x 2 = ( а2 , 2 , 3 ) , x 3 = (1 , 2 , а3).
       5. Проверить, что векторы e 1 = (2,1, −2), e 2= (−1, 4,1), e 3= (1,0, 1)
образуют ортогональный базис, и для вектора x = (а1 ,а2 ,а3) найти раз-
ложение по этому базису.
       6. Определить координаты векторов в базисе e , если в базисе e ′ эти
векторы имеют координаты: v 1 = (а1, 4, 6), v 2 = (5, 5, − а2), v 3=(7, − а3,1 ), а
базисы связаны уравнениями
                                      ⎧e1 = 4e1′ − 2e 2′ + 5e3′ ;
                                      ⎪
                                      ⎨ e 2 = e1′ + 2e 2′ + 3e3′ ;
                                      ⎪ e = 6e ′ + e ′ − e ′ .
                                      ⎩ 3         1      2    3


                                ВАРИАНТ 4

       1. В линейном пространстве V 3 заданы векторы x 1 = (5 , 3 , а1 ),
x 2 = (−1, −6, −а2), x 3= (а3, −1,1). Выясните, является ли система этих век-
торов линейно зависимой. Если система линейно зависима, то найти зави-
симость между векторами (нулевую нетривиальную комбинацию векто-
ров).

Страницы