Математика. Курзина В.М - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

31
1.5. Метод Жордана-Гаусса
Метод Жордана-Гаусса − метод решения систем линейных алгеб-
раических уравнений, нахождения координат вектора в различных базисах,
элементов обратной матрицы с помощью специальным образом организо-
ванных таблиц. Его еще называют методом полного исключения неиз-
вестных.
Этот метод является модификацией метода Гаусса. В его основе
также лежит
использование элементарных преобразований системы.
Цель преобразований − привести матрицу системы к единичной, ес-
ли имеется равное число неизвестных и уравнений системы, и к угловой
матрице специального вида, если число неизвестных не совпадает с чис-
лом уравнений системы.
Пусть исходная система линейных уравнений определяется расши-
ренной матрицей, представленной в табл. 1.5.1
Т
а б л и ц а 1.5.1
х
1
х
2
........
х
j
.........
х
k
......... х
n
b
0
a
11
a
12
......... a
1j
.........
a
1k
......... a
1n
b
10
.......... .......... ......... ........... ......... ........... ......... ........... ...........
a
i1
a
i2
.........
a
ij
......... a
ik
......... a
in
b
i0
........... ........... ......... ........... ......... ........... ......... ........... ...........
a
s1
a
s2
.........
a
sj
.......... a
sk
......... a
sn
b
s0
........... ........... ......... ........... .......... ........... ......... ........... ...........
a
m1
a
m2
.........
a
mj
......... a
mk
......... a
mn
b
m 0
Решение системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса со-
стоит в исключении неизвестных из уравнений последовательными экви-
валентными преобразованиями уравнений системы, в результате чего по-
лучается более простая система (ступенчатого вида) с теми же решениями,
что и исходная.
Обозначим через b
ij
коэффициенты преобразованной системы. Со-
гласно методу Жордана-Гаусса после исключения неизвестной х
k
они оп-
ределяются по формулам:
;0,1 siприbb
iksk
≠==
);),...,1(),1(,...,1,0( nkkj
a
a
b
sk
sj
sj
+−==
).,...,1;),...,1(),1(,...,1,0,( minkkjsia
a
a
ab
ik
sk
sj
ijij
=+−=≠−=
Процесс исключения неизвестных продолжается до тех пор, пока не
будут использованы все уравнения. При этом возможны следующие слу-
чаи: 
                                                  31

                                       1.5. Метод Жордана-Гаусса

     Метод Жордана-Гаусса − метод решения систем линейных алгеб-
раических уравнений, нахождения координат вектора в различных базисах,
элементов обратной матрицы с помощью специальным образом организо-
ванных таблиц. Его еще называют методом полного исключения неиз-
вестных.
     Этот метод является модификацией метода Гаусса. В его основе
также лежит использование элементарных преобразований системы.
     Цель преобразований − привести матрицу системы к единичной, ес-
ли имеется равное число неизвестных и уравнений системы, и к угловой
матрице специального вида, если число неизвестных не совпадает с чис-
лом уравнений системы.
     Пусть исходная система линейных уравнений определяется расши-
ренной матрицей, представленной в табл. 1.5.1
                                                         Т а б л и ц а 1.5.1
  х1      х2    ........  хj   .........   хk  .........    хn        b0
   a11         a12        .........      a1j       .........    a1k        .........      a1n         b10
.......... ..........     .........   ........... ......... ...........    .........   ........... ...........
   ai1         ai2        .........       aij      .........     aik       .........      ain         bi0
........... ...........   .........   ........... ......... ...........    .........   ........... ...........
   as1         as2        .........       asj     ..........    ask        .........      asn         bs0
........... ...........   .........   ........... .......... ...........   .........   ........... ...........
   am1         am2        .........      amj       .........    amk        .........      amn         bm 0

      Решение системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса со-
стоит в исключении неизвестных из уравнений последовательными экви-
валентными преобразованиями уравнений системы, в результате чего по-
лучается более простая система (ступенчатого вида) с теми же решениями,
что и исходная.
      Обозначим через bij коэффициенты преобразованной системы. Со-
гласно методу Жордана-Гаусса после исключения неизвестной хk они оп-
ределяются по формулам:
      bsk = 1, bik = 0 при i ≠ s;
            a sj
      bsj =       ( j = 0, 1,..., (k − 1), (k + 1),..., n);
            a sk
                    a sj
      bij = a ij −       a ik (i ≠ s, j = 0, 1,..., (k − 1), (k + 1),..., n; i = 1,..., m).
                    a sk
      Процесс исключения неизвестных продолжается до тех пор, пока не
будут использованы все уравнения. При этом возможны следующие слу-
чаи:

Страницы