Математика. Курзина В.М - 330 стр.

                                          330

стратегию Ai , игрок А должен рассчитывать, что игрок В ответит на нее
той стратегией B j , при которой выигрыш игрока А будет наименьшим.
     Пусть α i − наименьший выигрыш игрока А при выборе им стратегии
Ai для всех возможных стратегий игрока В, тогда
                              α i = min aij ,
                                              j = 1,...,n
т.е. наименьшее число в i-ой строке платежной матрицы.
Среди всех чисел α i ( i = 1,2,..., m) выберем наибольшее:

                                 α = max α i .
                                          i =1,.., m
Следовательно,
                              α = max min aij .
                                   i =1,.., m j =1,..., n

      Число α называется нижней ценой игры, или максиминным выигры-
шем (максимином). Это гарантированный выигрыш игрока А при любой
стратегии игрока В. Стратегия, соответствующая максимину, называется
максиминной стратегией.
      Игрок В заинтересован в том, чтобы уменьшить выигрыш игрока А,
поэтому он выбирает стратегию B j , учитывая при этом максимально воз-
можный выигрыш для А. Пусть β j − наибольший выигрыш игрока А при
выборе им всех возможных стратегий, когда игрок В выбирает стратегию
B j , тогда
                            β j = max aij .
                                 i =1,.., m
Одновременно β j является наибольшим проигрышем игрока В при выборе
им стратегии B j , поэтому среди всех чисел β j выбираем наименьшее, что-
бы найти ту стратегию игрока В, при которой его проигрыш будет наи-
меньшим. Это число обозначим β и оно равно
                           β = min max aij .
                                 j =1,..., n i =1,.., m

      Число β называется верхней ценой игры или минимаксным выигры-
шем (минимаксом). Это гарантированный проигрыш игрока В. Стратегия,
соответствующая минимаксу, называется минимаксной стратегией.
Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее "осторожных" минимакс-
ной и максиминной стратегий, называется принципом минимакса. Этот
принцип следует из того, что в антагонистической игре каждый игрок
стремится достичь цели, противоположной цели его противника.
      Определим верхнюю и нижнюю цены игры и соответствующие
стратегии для игры с платежной матрицей