Математика. Курзина В.М - 332 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

332
β
≤
≤
α
v
.
Если верхняя и нижняя цены игры совпадают, то их общее значение
называют чистой ценой игры
или ценой игры, при этом справедливо равен-
ство
v
=
β
=
α
.
В этом случае игра имеет решение в чистых стратегиях, поскольку
пара чистых стратегий
i
A и
j
B , определяемых ценой игры v, стоящей на
пересечении i -ой строки и j- ого столбца платежной матрицы, дает опти-
мальное решение игры.
Пара чистых стратегий
i
A
и
j
B дает оптимальное решение игры то-
гда и только тогда, когда соответствующий ей элемент
ij
a является одно-
временно наибольшим в своем столбце и наименьшим в своей строке. Если
в платежной матрице есть такая точка, то она называется седловой точкой.
Таким образом, решение игры в чистых стратегиях существует тогда и
только тогда, когда платежная матрица имеет седловую точку.
Пример
. Решить игру в чистых стратегиях, если матрица игры
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
778
9810
975
P .
Решение.
Все расчеты удобно проводить в таблице, аналогичной
таблице 2.
Таблица 2
j
B
i
A
1
B
2
B
3
B
i
α
1
A
5 7 9 5
2
A
10 8 9 8
3
A
8 7 7 7
j
β
10 8 9
8=β=α
Из таблицы получаем, что платежная матрица имеет седловую точку,
а именно,
8
22
=a . Следовательно, цена игры 8
=
v
, причем она достигается
при паре чистых стратегий
2
A и
2
B , являющимися оптимальным решени-
ем игры.
Аналогично рассмотренному примеру решается третья задача рас-
четно-графической работы, если матрица имеет седловую точку.
Четвертая задача относится к тем задачам теории игр, которые могут
быть сведены к решению задач линейного программирования, поэтому для 
                                    332

                                α ≤ v ≤β.
     Если верхняя и нижняя цены игры совпадают, то их общее значение
называют чистой ценой игры или ценой игры, при этом справедливо равен-
ство
                                α =β = v.
     В этом случае игра имеет решение в чистых стратегиях, поскольку
пара чистых стратегий Ai и B j , определяемых ценой игры v, стоящей на
пересечении i -ой строки и j- ого столбца платежной матрицы, дает опти-
мальное решение игры.
     Пара чистых стратегий Ai и B j дает оптимальное решение игры то-
гда и только тогда, когда соответствующий ей элемент aij является одно-
временно наибольшим в своем столбце и наименьшим в своей строке. Если
в платежной матрице есть такая точка, то она называется седловой точкой.
Таким образом, решение игры в чистых стратегиях существует тогда и
только тогда, когда платежная матрица имеет седловую точку.
      Пример. Решить игру в чистых стратегиях, если матрица игры

                                    ⎛ 5 7 9⎞
                                    ⎜       ⎟
                                P = ⎜10 8 9 ⎟ .
                                    ⎜ 8 7 7⎟
                                    ⎝       ⎠

     Решение. Все расчеты удобно проводить в таблице, аналогичной
таблице 2.
                                                        Таблица 2
                                Bj
     Ai           B             B            B            αi
                      1              2               3
     A1             5               7               9              5
     A2             10              8               9              8
     A3             8               7               7              7
     βj             10              8               9           α =β=8

      Из таблицы получаем, что платежная матрица имеет седловую точку,
а именно, a22 = 8 . Следовательно, цена игры v = 8 , причем она достигается
при паре чистых стратегий A2 и B2 , являющимися оптимальным решени-
ем игры.
      Аналогично рассмотренному примеру решается третья задача рас-
четно-графической работы, если матрица имеет седловую точку.
      Четвертая задача относится к тем задачам теории игр, которые могут
быть сведены к решению задач линейного программирования, поэтому для

Страницы