ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
5
1. Математические модели однофазной фильтрации
В качестве наиболее часто используемого и разработанного метода
описания физических процессов в подземной гидродинамике применяется
макроскопический, в основе которого лежит гипотеза сплошности, законы и
методы механики сплошной среды. В механике сплошных сред основными
законами сохранения являются законы сохранения массы, импульса,
момента импульса, энергии. Для описания специфических
свойств сплошной
среды, к законам сохранения добавляют определяющие уравнения и законы,
например, закон Гука в теории упругости.
Математические модели изотермической однофазной фильтрации в
изотропной пористой среде включают закон сохранения массы, закон
сохранения импульса в виде закона фильтрации Дарси, определяющие
уравнения в виде зависимости плотности, пористости, проницаемости,
вязкости от давления [1
], [2]:
),(),(),(),(
),(
,0
ppkkpmmp
fpgrad
k
w
wdiv
t
m
µµρρ
ρ
µ
ρ
ρ
====
+−=
=+
∂
∂
(1)
где р − давление, t − время, m − пористость, k − проницаемость,
ρ
−
плотность,
µ
− вязкость, f − вектор объемных (массовых) сил.
Модель однофазной фильтрации по закону Дарси в недеформируемом
пласте:
6
).(
,0
,,,,
fpgrad
k
w
wdiv
constconstkconstmconst
ρ
µ
µ
ρ
+−=
=
=
=
=
=
(2)
Подставим закон Дарси в уравнение неразрывности, в результате
получим
0)( =∆−=−=− p
k
pgraddiv
k
pgrad
k
div
µµµ
.
Следовательно, систему (2) в пренебрежении массовыми силами можно
переписать в виде [3]
.
,0
pgrad
k
w
p
µ
−=
=
∆
(3)
Система уравнений (3) задает математическую модель фильтрации
вязкой несжимаемой жидкости в недеформируемой изотропной пористой
среде.
Математическая модель фильтрации вязкой сжимаемой жидкости в
недеформируемой изотропной пористой среде без учета силы тяжести в
общем виде определяется следующей системой уравнений:
).(
,
,0
p
pgrad
k
w
wdiv
t
m
ρρ
µ
ρ
ρ
=
−=
=+
∂
∂
(4)
Подставим закон Дарси в уравнение неразрывности:
0)( =−
∂
∂
=−+
∂
∂
pgraddiv
k
t
mpgrad
k
div
t
m
ρ
µ
ρ
µ
ρ
ρ
.
1. Математические модели однофазной фильтрации ρ = const , m = const , k = const , µ = const ,
В качестве наиболее часто используемого и разработанного метода div w = 0, (2)
описания физических процессов в подземной гидродинамике применяется k
w = − ( grad p + ρf ).
макроскопический, в основе которого лежит гипотеза сплошности, законы и µ
методы механики сплошной среды. В механике сплошных сред основными
Подставим закон Дарси в уравнение неразрывности, в результате
законами сохранения являются законы сохранения массы, импульса,
получим
момента импульса, энергии. Для описания специфических свойств сплошной
k k k
среды, к законам сохранения добавляют определяющие уравнения и законы, div (− grad p) = − div grad p = − ∆p = 0 .
µ µ µ
например, закон Гука в теории упругости.
Следовательно, систему (2) в пренебрежении массовыми силами можно
Математические модели изотермической однофазной фильтрации в
переписать в виде [3]
изотропной пористой среде включают закон сохранения массы, закон
сохранения импульса в виде закона фильтрации Дарси, определяющие ∆p = 0,
уравнения в виде зависимости плотности, пористости, проницаемости, k (3)
w = − grad p.
вязкости от давления [1], [2]:
µ
Система уравнений (3) задает математическую модель фильтрации
вязкой несжимаемой жидкости в недеформируемой изотропной пористой
∂mρ
+ div ρw = 0, среде.
∂t
k Математическая модель фильтрации вязкой сжимаемой жидкости в
w = − ( grad p + ρf ), (1)
µ недеформируемой изотропной пористой среде без учета силы тяжести в
ρ = ρ ( p ), m = m( p), k = k ( p), µ = µ ( p), общем виде определяется следующей системой уравнений:
где р − давление, t − время, m − пористость, k − проницаемость, ρ − ∂mρ
+ div ρw = 0,
∂t
плотность, µ − вязкость, f − вектор объемных (массовых) сил.
k
Модель однофазной фильтрации по закону Дарси в недеформируемом w = − grad p, (4)
µ
пласте:
ρ = ρ ( p ).
Подставим закон Дарси в уравнение неразрывности:
∂ρ k ∂ρ k
m + div (− ρ grad p ) = m − div ρgrad p = 0 .
∂t µ ∂t µ
5 6
