Составители:
Рубрика:
щих сил. В этом случае продольный размер L уменьшается на величину ΔL (абсолютная деформация равна
−ΔL
), а поперечный размер H увеличивается на величину ΔH ( абсолютная деформация равна положительному
числу +ΔH).
Для изотропных материалов (т.е. таких, у которых свойства одинаковы по всем направлениям) между по-
перечной и продольной деформациями существует следующее соотношение:
L
L
H
H Δ
⋅μ−=
Δ
, (11.1)
в котором μ ⎯ коэффициент Пуассона, зависящий от упругих свойств материала.
Величины отношений
H
HΔ
и
L
LΔ
называются относительной поперечной и относительной продоль-
ной деформациями, соответственно.
При небольших деформациях между модулем приложенной к стержню силы и величиной (модулем) отно-
сительной продольной деформации существует соотношение, называемое законом Гука:
L
L
E
S
F Δ
⋅=
, (11.2′)
где S ⎯ площадь поперечного сечения стержня, Е ⎯ модуль Юнга, зависящий от упругих свойств материала.
Величина отношения модуля силы, перпендикулярной сечению, к площади поперечного сечения называется
нормальным напряжением, σ. Физический смысл нормального напряжения аналогичен смыслу давления. За-
кон Гука часто записывают через нормальное напряжение:
L
L
E
Δ
⋅=σ
(11.2)
Оказывается, упругие свойства изотропных материалов полностью описывается с помощью двух величин
⎯ коэффициента Пуассона и модуля Юнга. Другими словами: деформации, возникающие в твердом теле про-
извольной формы при воздействии на него произвольной системы сил, удовлетворяющей условиям статическо-
го равновесия твердого тела, могут быть рассчитаны с помощью только этих двух постоянных
. Рассмотрим
справедливость этого утверждения на примере более сложных систем сил.
3. Всестороннее сжатие
Так называется деформация, возникающая в твердом теле, помещенном в среду с постоянным давлением
(например, в газ). Рассмотрим деформацию всестороннего сжатия тела в форме прямоугольного параллелепи-
педа, имеющего размеры
zyx ×× . На все его грани действует одинаковое давление, которое и равно напряже-
нию на гранях. Эти напряжения
сжимают тело (см. рис.11.2). На ри-
сунке показаны оси координат и
обозначены напряжения на гранях,
перпендикулярных этим осям. Ось
«OX» направлена вдоль грани па-
раллелепипеда, имеющей размер х,
ось «OY» ⎯ вдоль грани с размером
y
. Очевидно, что при всестороннем
сжатии
ZYX
σ=σ=σ . Обозначим
эти равные друг другу напряжения
через σ. Поскольку закон Гука уста-
навливает линейную связь между
напряжением и деформацией, для
расчета деформации, вызванной не-
сколькими напряжениями, можно
использовать принцип суперпози-
ции. Рассмотрим применение этого
принципа на примере вычисления
деформации вдоль оси «ОХ». Эта
деформация равна сумме деформа-
ций, возникающих под
действием
напряжения
X
σ ,
Y
σ и
Z
σ независи-
мо друг от друга. Пользуясь законом
Гука, вычислим относительную деформацию
x
x
x
Δ
, возникающую только под действием напряжения
X
σ
:
Ex
x
x
σ
−=
Δ
. Напомним, что отрицательный знак деформации соответствует уменьшению размера.
X
Y
Z
x
σ
x
σ
Y
σ
Y
σ
Z
σ
Z
σ
2.11.Рис
щих сил. В этом случае продольный размер L уменьшается на величину ΔL (абсолютная деформация равна
−ΔL), а поперечный размер H увеличивается на величину ΔH ( абсолютная деформация равна положительному
числу +ΔH).
Для изотропных материалов (т.е. таких, у которых свойства одинаковы по всем направлениям) между по-
перечной и продольной деформациями существует следующее соотношение:
ΔH ΔL
= −μ ⋅ , (11.1)
H L
в котором μ ⎯ коэффициент Пуассона, зависящий от упругих свойств материала.
ΔH ΔL
Величины отношений и называются относительной поперечной и относительной продоль-
H L
ной деформациями, соответственно.
При небольших деформациях между модулем приложенной к стержню силы и величиной (модулем) отно-
сительной продольной деформации существует соотношение, называемое законом Гука:
F ΔL
= E⋅ , (11.2′)
S L
где S ⎯ площадь поперечного сечения стержня, Е ⎯ модуль Юнга, зависящий от упругих свойств материала.
Величина отношения модуля силы, перпендикулярной сечению, к площади поперечного сечения называется
нормальным напряжением, σ. Физический смысл нормального напряжения аналогичен смыслу давления. За-
кон Гука часто записывают через нормальное напряжение:
ΔL
σ = E⋅ (11.2)
L
Оказывается, упругие свойства изотропных материалов полностью описывается с помощью двух величин
⎯ коэффициента Пуассона и модуля Юнга. Другими словами: деформации, возникающие в твердом теле про-
извольной формы при воздействии на него произвольной системы сил, удовлетворяющей условиям статическо-
го равновесия твердого тела, могут быть рассчитаны с помощью только этих двух постоянных. Рассмотрим
справедливость этого утверждения на примере более сложных систем сил.
3. Всестороннее сжатие
Так называется деформация, возникающая в твердом теле, помещенном в среду с постоянным давлением
(например, в газ). Рассмотрим деформацию всестороннего сжатия тела в форме прямоугольного параллелепи-
педа, имеющего размеры x × y × z . На все его грани действует одинаковое давление, которое и равно напряже-
нию на гранях. Эти напряжения
сжимают тело (см. рис.11.2). На ри- Z
сунке показаны оси координат и
обозначены напряжения на гранях,
перпендикулярных этим осям. Ось σZ
«OX» направлена вдоль грани па-
раллелепипеда, имеющей размер х,
ось «OY» ⎯ вдоль грани с размером σx
y. Очевидно, что при всестороннем
сжатии σ X = σ Y = σ Z . Обозначим
эти равные друг другу напряжения σY
через σ. Поскольку закон Гука уста-
навливает линейную связь между
напряжением и деформацией, для
расчета деформации, вызванной не- σY
сколькими напряжениями, можно σx Y
использовать принцип суперпози-
ции. Рассмотрим применение этого
принципа на примере вычисления
деформации вдоль оси «ОХ». Эта X
деформация равна сумме деформа- σZ
ций, возникающих под действием
напряжения σ X , σ Y и σ Z независи-
Рис. 11.2
мо друг от друга. Пользуясь законом
Δx x
Гука, вычислим относительную деформацию , возникающую только под действием напряжения σ X :
x
Δx x σ
= − . Напомним, что отрицательный знак деформации соответствует уменьшению размера.
x E
