Определение модуля сдвига с помощью пружинного маятника . Кузьменко В.С. - 5 стр.

 Δ D2 2    σ
        = − . Знак минус в этой формуле учитывает то, что под воздействием сжимающих напряжений размер
  D2       E
                                                       ΔD12       σ
тела уменьшается. Используя этот результат, запишем          = μ ⋅ . По принципу суперпозиции получаем
                                                        D1        E
полную деформацию диагонали D1, возникающую под действием как сжимающих, так и растягивающих на-
пряжений σ.
                                        ΔD1 ΔD11 ΔD12 σ
                                            =       +       = ⋅ (1 + μ ) .
                                         D1    D1      D1     E


    Выполните самостоятельно расчет относительной деформации другой диагонали и покажите, что она опи-
                   Δ D2    σ
сывается формулой:      = − ⋅ (1 + μ ) . Поясните смысл знака минус в этой формуле.
                    D2     E

     Переходим к вычислению угла γ. Это задача чисто геометрическая. Будем считать деформации такими ма-
лыми, что D1 = D2 = a ⋅ 2 , где a ⎯ размер грани исходного кубика. На рис. 11.6 показан вид деформирован-
ного кубика в плоскости «XOY». Символом D обозначена длина диагонали в свободном (недеформированном)
состоянии.      Тогда      длина           короткой        диагонали D2     деформированного       кубика
                        σ                ⎛    σ          ⎞
D2 = D2 + ΔD2 ≈ D − D ⋅ ⋅ (1 + μ ) = D ⋅ ⎜ 1 − ⋅ (1 + μ )⎟ и
                       E                 ⎝    E          ⎠
                                                      σ                     σ
                                                        ⋅ (1 + μ ) = a ⋅ 2 ⋅ ⋅ (1 + μ ) .
                                             ΔD = D − D2 ≈ D ⋅                                                   (11.3)
                                                      E                     E
     (В последнем преобразовании мы использовали геометрию:
D ⎯ диагональ квадрата со стороной а).
     Теперь вычислим ΔD геометрически. Из прямоугольного
треугольника с катетами а и a − Δa находим гипотенузу D2:
                                                                                      D
D2 = a 2 + (a − Δa ) 2 . Считая угол γ очень малым, выразим Δа
                                                                        a                                  D2
как длину дуги радиуса а, опирающуюся на угол гамма:
Δa ≈ a ⋅ γ .                                                                     γ
     С учетом этого соотношения:
D2 = a 2 + (a − a ⋅ γ ) = a ⋅ 1 − (1 − γ ) = a ⋅ 2 − 2 ⋅ γ = a ⋅ 2 ⋅ 1 − γ
                      2                  2


                                                          γ                                           a − Δa
Учитывая то, что γ намного меньше единицы,                 1− γ ≈1−
                                                             .                        Δa
                                                          2                                       a
                                                    ⎛    γ⎞
Окончательно получим выражение для ΔD: D2 = a ⋅ 2 ⋅ ⎜ 1 − ⎟ и                                  Рис. 11.6
                                                    ⎝    2⎠
                               ⎛       γ⎞          γ
Δ D = D − D2 = a ⋅ 2 − a ⋅ 2 ⋅ ⎜ 1 −    ⎟ = a⋅ 2 ⋅
                               ⎝       2⎠          2
                                                                γ σ                                           E
     Приравнивая это выражение выражению (11.3) получаем          = ⋅ (1 + μ ) , откуда следует: σ = γ ⋅              .
                                                                2 E                                      2 ⋅ (1 + μ )
Вспоминая, что нормальное напряжение на гранях выделенного внутреннего кубика (повернутого на 45 0 отно-
сительно наружного) равно касательному напряжению на гранях наружного кубика ( σ = τ ), получим вариант
закона Гука для чистого сдвига:
                                                     E
                                          τ= γ⋅              = γ ⋅G ,                                          (11.4)
                                                2 ⋅ (1 + μ )
                       E                                                                   γ
где величина G =               на-                                                                           τ
                  2 ⋅ (1 + μ )
зывается модулем сдвига.

     На рисунке 11.7 представ-
лена схема рассматриваемой де-
формации, поясняющая смысл ее                                                     τ
названия «деформация сдвига».                                                                                       τ
Если недеформированный кубик
разделить мысленно на стопку
тонких параллельных основанию

                                                                                                         τ

                                                                      Рис. 11.7