Основные разделы кристаллографии. Кузьмичева Г.М. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

37
Рис. 46. Стереограмма группы 3m:
т.1→т.2-
m
Ÿ
1
,
т.1→т.3-
Ÿ
3
z
1
,
т.1→т.4-
m
Ÿ
2
,
т.1→т.5-
Ÿ
3
z
2
,
т.1→т.6-
m
Ÿ
3
,
т.1→т.1-
Ÿ
3
z
3
=
E
Ÿ
.
Нетрудно убедиться, что эта группа может быть получена всего лишь при
помощи двух операций симметрии 3
z
1
и m
1
:
Ÿ
3
z
2
=
Ÿ
3
z
1
×
Ÿ
3
z
1
=
Ÿ
3
z
-1
,
m
Ÿ
2
=
Ÿ
3
z
1
×
m
Ÿ
2
,
E
Ÿ
=
Ÿ
3
z
1
×
Ÿ
3
z
1
×
Ÿ
3
z
1
=
Ÿ
3
z
3
,
m
Ÿ
3
=
m
Ÿ
1
×
Ÿ
3
z
1
.
Элементы группы, из которых можно при помощи закона умножения
получить все остальные элементы, называются генерирующими элементами,
или генераторами.
4.5.2. Групповые свойства
1. Порядок группы определяется числом ее элементов, т.е. порядок группы
определяет число симметрических операций группы. Он соответствует числу
граней общего положения, связанных операциями симметрии этой группы.
Порядок рассмотренной группы 3m равен 6 (
рис. 46).
2. В пределах группы можно выделить подмножества, которые сами по себе
образуют группу и называются подгруппой данной группы.
Рассматривая таблицу умножения группы 3m, можно увидеть, что
подмножества {
E
Ÿ
,
Ÿ
3
z
1
,
Ÿ
3
z
2
}, {
E
Ÿ
,
m
Ÿ
1
},{
E
Ÿ
,
m
Ÿ
2
},{
E
Ÿ
,
m
Ÿ
3
} также удовлетворяют
всем групповым аксиомам и, следовательно, также образуют группы.
3. Порядок любой подгруппы H группы G должен быть делителем порядка
группы G, т.е. группа 3m не может иметь подгруппы 4-го и 5-го порядков. Таким
образом, в группе 3m, являющейся группой 6-го порядка, имеется одна
подгруппа 3-го и три подгруппы 2-го порядка.
Обозначим группу 3m через A и рассмотрим группу B = {
E
Ÿ
,
m
Ÿ
h
}, где
m
h
- плоскость симметрии, перпендикулярная оси 3-го порядка. Операция
m
Ÿ
h
отображает точки из верхнего полупространства в нижнее, причем элементы
групп A и B коммутируют друг с другом, т. е. A
i
B
j
= B
j
A
i
, то C
k
= A
i
B
j
называется прямым преобразованием. В результате получаем новую группу:
A × B = {
E
Ÿ
,
Ÿ
3
z
1
,
Ÿ
3
z
2
,
m
Ÿ
1
,
m
Ÿ
2
,
m
Ÿ
3
,
m
Ÿ
h
,
Ÿ
3
z
1
m
Ÿ
h
=
Ÿ
3
o
z
1
,
Ÿ
3
z
2
m
Ÿ
h
=
Ÿ
3
o
z
2
,
m
Ÿ
1
m
Ÿ
h
=2
z(1)
,
m
Ÿ
2
m
Ÿ
h
=2
z(2)
,
m
Ÿ
3
m
Ÿ
h
=2
z(3)
} - L
6i
3L
2
3P (D
3h
,
m62
). Порядок этой группы равен
6 × 2 = 12, и она является надгруппой группы 3m, которая в свою очередь
представляет подгруппу группы
m62
.
z
4
3
2
1
6
5
m
1
m
2
m
3
                 6                                                       Рис. 46. Стереограмма группы 3m:
        5                                                                                  Ÿ
                                                                                  т.1→т.2- m 1,
                                                     1                                                     Ÿ
                         z                                                             т.1→т.3- 3 z1,
                                                             m1                                 Ÿ
                                                                                       т.1→т.4- m 2,
                                                     2                                                     Ÿ
        4                                                                              т.1→т.5- 3 z2,
                                                                                                Ÿ
                     3                                                                 т.1→т.6- m 3,
                                                                                                           Ÿ           Ÿ

                                             m2                                        т.1→т.1- 3 z3= E .
        m3

   Нетрудно убедиться, что эта группа может быть получена всего лишь при
помощи двух операций симметрии 3z1 и m1:
    Ÿ        Ÿ                   Ÿ               Ÿ           Ÿ       Ÿ             Ÿ       Ÿ       Ÿ           Ÿ               Ÿ       Ÿ       Ÿ   Ÿ
    3 z2= 3 z1 × 3 z1= 3 z-1, m 2= 3 z1 × m 2, E = 3 z1 × 3 z1 × 3 z1= 3 z3 , m 3= m 1 ×
Ÿ
3 z1 .
   Элементы группы, из которых можно при помощи закона умножения
получить все остальные элементы, называются генерирующими элементами,
или генераторами.

        4.5.2. Групповые свойства
   1. Порядок группы определяется числом ее элементов, т.е. порядок группы
определяет число симметрических операций группы. Он соответствует числу
граней общего положения, связанных операциями симметрии этой группы.
   Порядок рассмотренной группы 3m равен 6 (рис. 46).
   2. В пределах группы можно выделить подмножества, которые сами по себе
образуют группу и называются подгруппой данной группы.
   Рассматривая таблицу умножения группы 3m, можно увидеть, что
                                     Ÿ       Ÿ           Ÿ           Ÿ     Ÿ           Ÿ       Ÿ           Ÿ       Ÿ
подмножества { E , 3 z1, 3 z2}, { E , m 1},{ E , m 2},{ E , m 3} также удовлетворяют
всем групповым аксиомам и, следовательно, также образуют группы.
   3. Порядок любой подгруппы H группы G должен быть делителем порядка
группы G, т.е. группа 3m не может иметь подгруппы 4-го и 5-го порядков. Таким
образом, в группе 3m, являющейся группой 6-го порядка, имеется одна
подгруппа 3-го и три подгруппы 2-го порядка.
                                                                                                                                           Ÿ   Ÿ
   Обозначим группу 3m через A и рассмотрим группу B = { E , m h}, где
                                                                      Ÿ
mh - плоскость симметрии, перпендикулярная оси 3-го порядка. Операция m h
отображает точки из верхнего полупространства в нижнее, причем элементы
групп A и B коммутируют друг с другом, т. е. AiBj= BjAi, то Ck= AiBj
называется прямым преобразованием. В результате получаем новую группу:
                 Ÿ       Ÿ               Ÿ                                             Ÿ               Ÿ           Ÿ               Ÿ
                                                     Ÿ  o        Ÿ   Ÿ  o      Ÿ               Ÿ                           Ÿ               Ÿ   Ÿ
A × B = { E , 3 z1, 3 z2, m 1, m 2, m 3, m h, 3 z1 m h= 3 z1, 3 z2 m h= 3 z2, m 1 m h=2z(1),
Ÿ   Ÿ                        Ÿ           Ÿ
m 2 m h=2z(2), m 3 m h=2z(3)} - L6i3L23P (D3h, 6 m 2). Порядок этой группы равен
6 × 2 = 12, и она является надгруппой группы 3m, которая в свою очередь
представляет подгруппу группы 6 m 2.
                                                                                                                                                       37

Страницы