Основные разделы кристаллографии. Кузьмичева Г.М. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

..ГлаваСимметриякристаллов
4
36
При умножении элемента столбца на элемент строки получим: B=A
2
,
C = AB = A
3
, E = AC = A
4
. Видно, что в рассматриваемой группе все элементы
группы являются степенями единственного элемента А. Группа n-го порядка,
состоящая из элементов A
n
называется циклической. В этом случае
произведение любой пары элементов группы не зависит от порядка
сомножителей.
К циклическим группам относятся точечные группы симметрии C
n
, в
частности, группа C
4
аналогична рассмотренной выше абстрактной группе 4-го
порядка.
Можно показать, что существует еще одна абстрактная группа 4-го порядка:
E A B C
E E A B C
A A E C B
B B C E A
C C B A E
При умножении элемента столбца на элемент строки получим: A = BC,
B = AC, C = AB, E = A
2
, E = B
2
, E = C
2
.
Группа симметрии D
2
(3L
2
, 222) аналогична данной абстрактной группе:
Ÿ
2
x
×
Ÿ
2
y
=
Ÿ
2
z
,
Ÿ
2
x
×
Ÿ
2
z
=
Ÿ
2
y
,
Ÿ
2
y
×
Ÿ
2
z
=
Ÿ
2
x
;
Ÿ
2
x
×
Ÿ
2
x
=
E
Ÿ
,
Ÿ
2
y
×
Ÿ
2
y
=
E
Ÿ
,
Ÿ
2
z
×
Ÿ
2
z
=
E
Ÿ
.
Структура точечной группы симметрии задается при помощи произведения
пар элементов и оформляется в виде таблицы Кейли (квадрат Кейли).
Каждая клетка таблицы содержит операцию, которая представляет собой
произведение операций, стоящих в начале соответствующей строки и
соответствующего столбца.
Квадрат Кейли группы 3m (
рис. 46)
E
Ÿ
Ÿ
3
z
1
Ÿ
3
z
2
m
Ÿ
1
m
Ÿ
2
m
Ÿ
3
E
Ÿ
E
Ÿ
Ÿ
3
z
1
Ÿ
3
z
2
m
Ÿ
1
m
Ÿ
2
m
Ÿ
3
Ÿ
3
z
1
Ÿ
3
z
1
Ÿ
3
z
2
E
Ÿ
m
Ÿ
2
m
Ÿ
3
m
Ÿ
1
Ÿ
3
z
2
Ÿ
3
z
2
E
Ÿ
Ÿ
3
z
1
m
Ÿ
3
m
Ÿ
1
m
Ÿ
2
m
Ÿ
1
m
Ÿ
1
m
Ÿ
3
m
Ÿ
2
E
Ÿ
Ÿ
3
z
2
Ÿ
3
z
1
m
Ÿ
2
m
Ÿ
2
m
Ÿ
1
m
Ÿ
3
Ÿ
3
z
1
E
Ÿ
Ÿ
3
z
2
m
Ÿ
3
m
Ÿ
3
m
Ÿ
2
m
Ÿ
1
Ÿ
3
z
2
Ÿ
3
z
1
E
Ÿ
     Глава 4. Симметрия кристаллов.
   При умножении элемента столбца на элемент строки получим: B=A2,
C = AB = A3, E = AC = A4. Видно, что в рассматриваемой группе все элементы
группы являются степенями единственного элемента А. Группа n-го порядка,
состоящая из элементов An называется циклической. В этом случае
произведение любой пары элементов группы не зависит от порядка
сомножителей.
   К циклическим группам относятся точечные группы симметрии Cn, в
частности, группа C4 аналогична рассмотренной выше абстрактной группе 4-го
порядка.
   Можно показать, что существует еще одна абстрактная группа 4-го порядка:

                                                    E    A      B        C
                                           E        E    A      B        C
                                           A        A    E      C        B
                                           B        B    C      E        A
                                           C        C    B      A        E

   При умножении элемента столбца на элемент строки получим: A = BC,
B = AC, C = AB, E = A2, E = B2, E = C2.
   Группа симметрии D2 (3L2, 222) аналогична данной абстрактной группе:
Ÿ      Ÿ      Ÿ        Ÿ      Ÿ        Ÿ            Ÿ       Ÿ       Ÿ        Ÿ      Ÿ          Ÿ   Ÿ   Ÿ   Ÿ
2 x × 2 y = 2 z, 2 x × 2 z = 2 y, 2 y × 2 z = 2 x; 2x × 2x = E , 2y × 2y = E ,
Ÿ     Ÿ     Ÿ
2z × 2z = E .
    Структура точечной группы симметрии задается при помощи произведения
пар элементов и оформляется в виде таблицы Кейли (квадрат Кейли).
    Каждая клетка таблицы содержит операцию, которая представляет собой
произведение операций, стоящих в начале соответствующей строки и
соответствующего столбца.
    Квадрат Кейли группы 3m (рис. 46)
                                  Ÿ            Ÿ        Ÿ           Ÿ        Ÿ          Ÿ
                                  E            3 z1     3 z2        m1       m2         m3
                       Ÿ          Ÿ            Ÿ        Ÿ           Ÿ        Ÿ          Ÿ
                       E          E            3 z1     3 z2        m1       m2         m3
                       Ÿ          Ÿ            Ÿ        Ÿ           Ÿ        Ÿ          Ÿ
                       3 z1       3 z1         3 z2     E           m2       m3         m1
                       Ÿ          Ÿ            Ÿ        Ÿ           Ÿ        Ÿ          Ÿ
                       3 z2       3 z2         E        3 z1        m3       m1         m2
                       Ÿ          Ÿ            Ÿ        Ÿ           Ÿ        Ÿ          Ÿ
                       m1         m1           m3       m2          E        3 z2       3 z1
                       Ÿ          Ÿ            Ÿ        Ÿ           Ÿ        Ÿ          Ÿ
                       m2         m2           m1       m3          3 z1     E          3 z2
                       Ÿ          Ÿ            Ÿ        Ÿ           Ÿ        Ÿ          Ÿ
                       m3         m3           m2       m1          3 z2     3 z1       E




36

Страницы