Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математика" (2 семестр). Кузьмин С.Ю. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

17
2. Для функции f
2
(x) )sin()()cos()(
21
xxQxxQ
β
β
+
= , где 2
=
β
. Число i
β
± не явля-
ется корнем характеристического уравнения, тогда
);2sin()2cos(
2
xDxCy +=
∗
);2cos(2)2sin(2)(
2
xDxCy +−=
′
∗
)2sin(4)2cos(4)(
2
xDxCy −−=
″
∗
.
Подставляем:
);2sin()2sin()2cos()2sin(4)2cos(4 xxDxCxDxC
−
=
+
+
−−
⇒−=−− )2sin()2sin(3)2cos(3 xxDxC
.
3
1
,0 == BA
Получаем
)2sin(
3
1
2
xy =
. Следовательно, искомое частное решение имеет
вид:
xxyyy +=+= )2sin(
3
1
21
. Общее решение неоднородного дифференци-
ального уравнения имеет вид:
)sin()cos()2sin(
3
1
21
xCxCxxy +++= 
2. Для функции f2(x) = Q1 ( x) cos( βx) + Q2 ( x) sin( βx) , где               β = 2 . Число   ± βi не явля-

ется корнем характеристического уравнения, тогда
 y ∗ 2 = C cos(2 x) + D sin(2 x); ( y ∗ ) 2 ′ = − 2C sin( 2 x ) + 2 D cos( 2 x );
         ″
( y ∗ ) 2 = −4C cos( 2 x ) − 4 D sin( 2 x ) .

Подставляем: − 4C cos( 2 x) − 4 D sin( 2 x) + C cos( 2 x) + D sin( 2 x) = − sin( 2 x);
                                                              1
− 3C cos(2 x) − 3D sin(2 x) = − sin(2 x) ⇒ A = 0,           B= .
                                                              3
                      1
Получаем y 2 = sin(2 x) . Следовательно, искомое частное решение имеет
                      3
                          1
вид: y = y1 + y 2 = sin(2 x) + x . Общее решение неоднородного дифференци-
                          3
                                                   1
ального уравнения имеет вид: y = sin(2 x) + x + C1 cos( x) + C2 sin( x)
                                                   3




                                                          17

Страницы