Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математика" (2 семестр). Кузьмин С.Ю. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

16
yCyp
1
ln4= . С учетом того, что
dx
dy
p =
, получаем:
∫∫
⇒=⇒= dx
yCy
dy
yCy
dx
dy
1
1
ln4
ln4
21
1
1
lnln
4
1
ln
)(ln
4
1
CyC
yC
yCd
x +==
∫
.
Таким образом, общий интеграл имеет вид:
;4lnln
1
CxyC +=
2)
⇒=
′
⇒= 00 ypCy = .
12.Найти общее решение дифференциального уравнения
xyy =
′
−
′′′
4
.
Решим соответствующее однородное уравнение:
.04
=
′
−
′
′
′
yy
;2;2;0;0)4(;04
321
23
−====−=− kkkkkkk .
2
3
2
21
xx
eCeCCy
−
+
+
=
Найдем частное решение исходного неоднородного уравнения.
Правая часть уравнения
0,)(
=
=
α
гдеxxf - корень кратности 1 характеристи-
ческого уравнения. Частное решение ищем в виде:
.)()(
2
BxAxBAxxxy +=+=
∗
Имеем:
0)(;2)(;2)( =
′′′
=
′′
+=
′
∗∗∗
yAyBAxy
.
Определим неизвестные коэффициенты А и В. Подставим частное решение в
общем виде в исходное неоднородное дифференциальное уравнение:
.0;
8
1
;18;480 =−==−=−− BAAxBAx
Следовательно, частное решение:
.
8
x
y
2
−=
∗
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:
.
8
2
3
2
21
2
xx
eCeCC
x
y
−
+++−=
13.Найти общее решение дифференциального уравнения
).2sin( xxyy −=+
′′
Правую часть дифференциального уравнения представим в виде суммы двух
функций f
1
(x) + f
2
(x) = x + (-sin(2x)).
Составим и решим характеристическое уравнение:
ikk ±==+
2,1
2
;01
.
1.
Для функции f
1
(x)=ax+b число 0 не является корнем характеристического
уравнения тогда,
BAxy
1
+=
∗
. Имеем:
0,10)(,)(
11
==⇒=+⇒=
″
=
′
∗∗
BAxBAxyAy
. Получаем:
xy =
∗
1
. 
                                                     dy
p = 4 y ln C1 y . С учетом того, что p =                , получаем:
                                                     dx

dy                        dy                 1 d (ln C1 y ) 1
   = 4 y ln C1 y ⇒ ∫             = ∫ dx ⇒ x = ∫            = ln ln C1 y + C 2 .
dx                   4 y ln C1 y             4 ln C1 y      4

Таким образом, общий интеграл имеет вид: ln ln C1 y = 4 x + C;

2) p = 0 ⇒ y ′ = 0 ⇒ y = C .
12.Найти общее решение дифференциального уравнения y ′′′ − 4 y ′ = x .
Решим соответствующее однородное уравнение: y ′′′ − 4 y ′ = 0.
k 3 − 4k = 0; k (k 2 − 4) = 0; k1 = 0; k 2 = 2; k 3 = −2; y = C + C e + C e .
                                                                                2x       −2 x


                                                                       1    2        3




Найдем частное решение исходного неоднородного уравнения.
Правая часть уравнения f ( x) = x, где α = 0 - корень кратности 1 характеристи-
ческого уравнения. Частное решение ищем в виде: y ∗ ( x) = x( Ax + B) = Ax 2 + Bx.
Имеем: ( y ∗ )′ = 2 Ax + B; ( y ∗ )′′ = 2 A; ( y ∗ )′′′ = 0 .
Определим неизвестные коэффициенты А и В. Подставим частное решение в
общем виде в исходное неоднородное дифференциальное уравнение:
                                                  1
0 − 8 Ax − 4 B = x; − 8 A = 1;               A = − ; B = 0.
                                                  8
                                      x2             ∗
Следовательно, частное решение: y = −    .
                                      8
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:
       x2
y=−       + C1 + C 2 e 2 x + C 3 e − 2 x .
       8
13.Найти общее решение дифференциального уравнения y ′′ + y = x − sin(2 x).
Правую часть дифференциального уравнения представим в виде суммы двух
функций f1(x) + f2(x) = x + (-sin(2x)).
Составим и решим характеристическое уравнение: k 2 + 1 = 0;                                 k1, 2 = ± i .

1. Для функции f1(x)=ax+b число 0 не является корнем характеристического
уравнения тогда, y ∗1 = Ax + B . Имеем:
        ′             ″                                                          ∗
( y ∗ )1 = A, ( y ∗ )1 = 0 ⇒ Ax + B = x ⇒            A = 1,   B = 0 . Получаем: y 1 = x .


                                                         16

Страницы