Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математика" (2 семестр). Кузьмин С.Ю. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

14
Разделяем переменные:
x
dx
tt
dt
=
ln
.
Интегрируя:
∫∫
=
x
dx
tt
dt
ln
, получаем:
.;ln;lnlnln
Cx
etCxtCxt ==+=
Переходя от вспомогательной функции обратно к функции у, получаем общее
решение:
.
Cx
xey =
7. Найти решение задачи Коши
xxyy 22
=
+
′
1)1(
=
y
Решим методом Бернулли.
Полагаем
uvy =
и
uvvuy
′
⋅
+
′
⋅=
′
.
Тогда
xxvuvuvu 22 =+
′
+
′
,
xxvvuvu 2)2(
=
+
′
+
′
⇒
.
1)
02 =+
′
xvv ,
xdx
v
dv
2−=
,
2
ln xv −=
,
2
x
ev
−
=
.
2)
xueu
x
20
2
=+
′
−
, т.е.
2
2
x
xe
dx
du
=
,
ceu
x
+=
2
.
(
)
22
xx
eceuvy
−
+==
- обшее решение.
Подставим начальные значения
(
)
11
1
−
+= ece
. Решаем уравнение и получаем
что с=e,
Итак,
(
)
22
xx
eeey
−
+=
.
8. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
0)4()2( =−++ dyy
x
dxy
x
.
Проверим выполнение теоремы:
)
)
1
42
=
∂
−
∂
=
∂
+
∂
x
yx
y
yx
⇒
левая часть диф-
ференциального уравнения есть полный дифференциал некоторой функции
()
yxu , . Найдем ее:
⇒−++=
∫∫
y
y
x
x
dyyxdxyxu
00
)4()2(
0
=−+=
∫∫
y
x
dyydxyxu
00
4)2(
(
)
22
0
2
0
2
22 yxyxyxyx
y
x
−+=−+=
. Так как.
)
=
yxu , C, получим Cyxyx =−+
22
2 .
9.Найти общее решение дифференциального уравнения
x
y
y
′′
=
′′′
.
Применяем подстановку:
yzyz
′
′
′
=
′
′
′
= ;
. 
                                                        dt     dx
Разделяем переменные:                                        =    .
                                                      t ln t    x
                                dt              dx
Интегрируя:                  ∫ t ln t = ∫          , получаем:             ln ln t = ln x + C; ln t = Cx; t = eCx .
                                                 x
Переходя от вспомогательной функции обратно к функции у, получаем общее
               Cx
решение: y = xe .
7. Найти решение задачи Коши y ′ + 2 xy = 2 x y (1) = 1
Решим методом Бернулли.
Полагаем y = uv и y ′ = u ⋅ v′ + v ⋅ u ′ .
Тогда u ′v + uv ′ + 2 xvu = 2 x , ⇒ u ′v + u (v′ + 2 xv) = 2 x .
                                dv                                    2
1) v ′ + 2 xv = 0 ,                = −2 xdx , ln v = − x 2 , v = e − x .
                                v
         2                                           du         2
2) u ′e − x + u 0 = 2 x , т.е.                          = 2 xe x , u = e x + c .
                                                                          2


                                                     dx

             (       2
                                )
 y = uv = e x + c e − x - обшее решение.
                                        2




Подставим начальные значения 1 = (e1 + c )e −1 . Решаем уравнение и получаем
что с=e,

                 (
Итак, y = e x + e e − x .
                         2
                                    )       2




8. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
( 2 x + y )dx + ( x − 4 y )dy = 0 .
                                                                      ∂ (2 x + y ) ∂ ( x − 4 y )
Проверим выполнение теоремы:                                                      =              = 1 ⇒ левая часть диф-
                                                                           ∂y           ∂x
ференциального уравнения есть полный дифференциал некоторой функции
                                                 x                    y                    x           y
u ( x, y ) . Найдем ее: u = ∫ (2 x + y ) dx + ∫ ( x0 − 4 y ) dy ⇒ u = ∫ (2 x + y ) dx − ∫ 4 y dy =
                                                 x0                   y0                   0          0



  (
= x 2 + xy   ) 0x − 2 y 2 0y = x 2 + xy − 2 y 2 . Так как. u(x, y ) = C, получим x                         2
                                                                                                               + xy − 2 y 2 = C .

                                                                                                      y′′
9.Найти общее решение дифференциального уравнения y′′′ =                                                  .
                                                                                                      x
Применяем подстановку: z = y′′;                                        z′ = y′′′ .


                                                                             14

Страницы