Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математика" (2 семестр). Кузьмин С.Ю. - 13 стр.

Решая совместно уравнения параболы и прямой, находим ординаты точек их
пересечения: y = -2, у=1
                                             1      1− y             1
                                                                                 9
Следовательно, σ = ∫∫ dxdy = ∫ dy                    ∫2 dx = −∫2(2 − y − y )dy = 2 .
                                                                          2

                              σ              −2     y −1




4. Вычислить криволинейные интегралы а) 1-ого рода, б) 2-ого рода.
                                                             ⎧ x = cos t π      π
                              а)      ∫
                                      L
                                          x 2 + y 2 dl , L : ⎨          ,− ≤ t ≤ .
                                                             ⎩ y = sin t 2      2


Решение: dl = ( xt′ ) 2 + ( y t′ ) 2 dt = sin 2 t + cos 2 t = dt , поэто-
                      π                                     π                 π   π   π
му ∫ x + y dl = ∫ π cos t + sin t dt = ∫ 2π dt = t −2π = +
             2   2     2          2          2
                                                                                          =π .
         L
                      −
                          2
                                                            −
                                                                2             2
                                                                                  2   2
                                                       2x 2
б) ∫ (8 x + 4 y + 2)dx + (8 y + 2)dy, L : y =               от O(0;0) до A(3;6) .
     L
                                                        3
                    4x
Решение: dy =          dx , 0 ≤ x ≤ 3 , поэто-
                     3
                                        3⎡        8x 2            16 x 2     4x ⎤
му ∫ (8 x + 4 y + 2)dx + (8 y + 2)dy = ∫0 ⎢(8 x +      + 2)dx + (        + 2) dx ⎥ =
   L                                      ⎣        3                3        3 ⎦
 3  ⎡ 64 x 3 8 x 2 32 x     ⎤      16 x 4 8 x 3 16 x 2
                                                             3

∫0 ⎢⎣ 9     +
               3
                  +
                    3
                        + 2 ⎥
                            ⎦
                             dx = (
                                     9
                                         +
                                            9
                                               +
                                                  3
                                                       + 2 x) = 222
                                                             0




5.Найти общий интеграл дифференциального уравнения
  1 − y 2 dx − ydy = 0 .

                                                    ydy                                          ydy
Разделяем переменные: dx =                                          . Интегрируем: ∫ dx = ∫              .
                                                  1 − y2                                         1− y2

Получаем: x = − 1 − y 2 + C или ( x − C ) 2 + y 2 = 1 .

                                                                                                  y⎛ y ⎞
6.Найти общий интеграл дифференциального уравнения y′ =                                            ⎜ ln + 1⎟ .
                                                                                                  x⎝ x ⎠
                              y
Делаем замену: t =              ;         y = tx;          y′ = t ′x + t .
                              x
Подставляем в исходное уравнение: t ′x + t = t (ln t + 1); t ′x + t = t ln t + t ; t ′x = t ln t.




                                                                         13