Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математика" (2 семестр). Кузьмин С.Ю. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

11
Методические указания по решению варианта 00
1. Вычислить неопределенные и определенные интегралы
а)
∫
+ dxxx
2/32
)1(
=
2
2
1
2
dt
xdx
dtxdx
tx
=
=
=+
=
.
5
)1(
52
1
2
2/522/5
2/32/3
C
x
C
t
dtt
dt
t +
+
=+==
∫∫
б)
∫
dxxarctg )( .
Интегирируется по частям: пусть
dxdvxarctgu
=
=
),( ; тогда
x
v =
,
2
1
x
dx
du
+
= .
Следовательно,
∫∫
+
⋅
−⋅=
2
1
)()(
x
dxx
xarctgxdxxarctg
.
Получившийся интеграл вычисляется методом замены переменной:
dtxdxtx ==+ 2,1
2
. Тогда
∫∫
=−⋅=
t
dt
xarctgxdxxarctg
2
1
)()(
(
)
CxxaectgxCtxarctgx ++−⋅=+−⋅=
2
1ln
2
1
)()ln(
2
1
)( ;
в)
∫∫ ∫∫
=−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−++
= dxxdxxdx
xxxx
dxxx )3sin(
2
1
)7sin(
2
1
2
)52sin()52sin(
)5cos()2sin(
C
xx
++−=
6
)3cos(
14
)7cos(
.
г)
∫
π2
0
dx)xcos(x
=
)sin()cos( xvdxxdv
dxduxu
==
==
=
dxxxx )sin()sin(
2
0
2
0
∫
−
π
π
=
ππ
2
0
2
0
)cos()sin( xxx + =
()
(
)
[]
0sin02sin2
⋅
−⋅
π
π
+
(
)
(
)
[
]
0cos02cos2
⋅
⋅
=0.
д)
9
3
03
30
99
9
3
0
3
0
3
3
0
2
3
0
222
2
===⋅−=
=⇒=
=⇒=
−=
=−⇒=−
=−
∫∫∫
t
dtttdtt
tx
tx
tdtxdx
txtx
dxxx
2. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле. Область интегриро-
вания изобразить на чертеже.
∫∫∫∫
+
2
1
2
2
0
2
1
0
);();(
y
yy
dxyxfdydxyxfdy 
          Методические указания по решению варианта 00
          1.       Вычислить неопределенные и определенные интегралы
                                     x2 + 1 = t                 dt 1 3 / 2   t5/ 2      ( x 2 + 1) 5 / 2
    а) ∫ x( x + 1)
               2     3/ 2
                            dx =     2 xdx = dt    = ∫ t 3/ 2     = ∫ t dt =       +C =                  + C.
                                                                2 2           5               5
                                            dt
                                     xdx =
                                             2
б) ∫ arctg ( x)dx .
                                                                                                                 dx
Интегирируется по частям: пусть u = arctg ( x), dv = dx ; тогда v = x , du =                                          .
                                                                                                                1+ x2
                                                                     x ⋅ dx
Следовательно, ∫ arctg ( x)dx = x ⋅ arctg ( x) − ∫                          .
                                                                     1+ x2
Получившийся интеграл вычисляется методом замены переменной:
                                                                                    1 dt
1 + x 2 = t , 2 xdx = dt . Тогда           ∫ arctg ( x)dx = x ⋅ arctg ( x) − 2 ∫      t
                                                                                         =

                  1
                  2
                                                1
                                                                (
= x ⋅ arctg ( x) − ln(t ) + C = x ⋅ aectg ( x) − ln 1 + x 2 + C ;
                                                2
                                                                         )

в) ∫ sin(2 x) cos(5 x)dx = ∫ ⎛⎜ sin(2 x + 5 x) + sin(2 x − 5 x) ⎞⎟dx = 1 ∫ sin(7 x)dx − 1 ∫ sin(3 x)dx =
                                       ⎝                 2                      ⎠       2             2
     cos(7 x) cos(3x)
=−           +        +C.
       14        6
                                                              2π
    2π                 u=x         du = dx                2π
г) ∫ x cos(x )dx =                            = x sin( x) 0 − ∫ sin( x) dx =
   0
                   dv = cos( x)dx v = sin( x)                  0


x sin( x) 0 + cos( x) 0 = [2π ⋅ sin (2π ) − 0 ⋅ sin (0 )] + [2π ⋅ cos(2π ) − 0 ⋅ cos(0 )] =0.
          2π                2π




                      9 − x2 = t ⇒ 9 − x2 = t 2
   3                                                0           3
                                                                           t3
д) ∫ x 9 − x 2 dx = xdx = −tdt                  = − ∫ t ⋅ tdt = ∫ t 2 dt =                   3
                                                                                             0   =9
   0                x=0⇒t =3                        3           0
                                                                           3
                    x =3⇒t = 0

2. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле. Область интегриро-
вания изобразить на чертеже.

                                 2
1     0               2          y

∫ dy ∫ f ( x; y)dx + ∫ dy ∫ f ( x; y)dx
0     y               1          y
      2                          2




                                                                    11

Страницы