Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математика" (2 семестр). Кузьмин С.Ю. - 12 стр.

Из условия видно. Что область σ состоит из двух областей и ограничена ли-
                         1
ниями y = 2 x , y = x , xy = 2 .
                         2
Решение начнем с построения области σ .
В первой части области переменная у изменяется от 0
до 1,
а во второй части переменная у изменяется от 1 до 2.
Отметим точку А(1;2) и точку В(2;1).Областью σ явля-
ется фигура ОАВ.


Заметим, что сверху область σ ограничена двумя линиями y = 2 x и xy = 2 . В
этом случае область σ следует представить как сумму двух областей σ 1 = OAC
и σ 2 = CAB и взять сумму двух интегралов.
Область σ 1 = OAC ограничена линиями x=0, x=1 (пределы интегрирования
внешнего интеграла) и y=2x, y=0.5x (пределы интегрирования внутреннего ин-
теграла)
Область σ 2= CAB ограничена линиями x=1, x=2 (пределы интегрирования
внешнего интеграла), y=0.5x, y=2/x (пределы интегрирования внутреннего ин-
                 2                   2
             2   x               2   x
теграла) ∫ dx ∫ f ( x; y )dy + ∫ dy ∫ f ( x; y )dx .
             1   x               1   x
                 2                   2




3. Вычислить площадь фигуры ограниченной данными линиями
                                            y 2 = x + 1, x + y = 1 с помощью двойного интеграла.

                                           Область σ представляет собой параболический
                                           сегмент, ограниченный слева дугой параболы
                                                              x = y 2 − 1 , справа – отрезком прямой

                                            x = 1 − y.




                                                         12