Дифференциальная геометрия. Исследование пространственных кривых с помощью пакета Mathematica. Кузьмина И.А. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

nv[r_][t_]:=
Cross[D[r[u],u],
Cross[D[r[u],u],D[r[u],{u,2}]]]/.u->t
Пример.
Возьмем кривую
f1[t_]:={Cos[t]^3, Sin[t]^3, Cos[2*t]}
Найдем направляющий вектор главной нормали
nv[f1][t]
8-27 cos
3
HtLsin
6
HtL- 27 cos
5
HtLsin
4
HtL- 24 cosHtLsin
2
H2 tLsin
2
HtL- 24 cos
2
HtLcosH2 tLsinH2 tLsinHtL+ 12 cos
3
HtLsin
2
H2 tL,
-27 sin
3
HtLcos
6
HtL- 27 sin
5
HtLcos
4
HtL- 24 sinHtLsin
2
H2 tLcos
2
HtL+ 24 cosH2 tLsin
2
HtLsinH2 tLcosHtL+ 12 sin
3
HtLsin
2
H2 tL,
-18 sinHL H L
Упростим
t sin 2 t cos
5
HtL+ 36 cosH2 tLsin
2
HtLcos
4
HtL+ 36 cosH2 tLsin
4
HtLcos
2
HtL+ 18 sin
5
HtLsinH2 tLcosHtL<
S
implify[%]
9
-75 cos
3
HtLsin
4
HtL, -75 cos
4
HtLsin
3
HtL,0=
S i [n ]
4.5. Отлично! Теперь запишем уравнение главной нормали кривой
nl(a, t) = r(t) + a nv(t)
или
nl[r_][t_, a_]:= r[t] + a*nv[r][t]
Пример.
Найдем главную нормаль кривой в точке t=1
impl fy l[f1][1,a ]
9 H L
N[%]
-cos
3
1 I75 asin
4
H1L- 1M, -I75 acos
4
H1L- 1Msin
3
H1L,cosH2L=
{-0.157729 (37.6026a-1.), -0.595823 (6.39158a-1.), -0.416147}
Нарисуем кривую и главную нормаль в точке t0 (см. рисунок
24):
t0=Pi/4;
plot1=ParametricPlot3D[Evaluate[nl[f1][t0, a]],
{a, -1, 1},
ViewPoint->{-2.659, -1.717, 1.196},
Axes->False, Boxed → False, DisplayFunction->Identity];
plot2=ParametricPlot3D[Evaluate[f1[t]],
{t, -Pi/4, Pi/2},
ViewPoint->{-2.659, -1.717, 1.196},
Axes->False, Boxed->False, DisplayFunction->Identity];
Show[plot1, plot2, Boxed → True,
DisplayFunction->$DisplayFunction];
24
nv[r_][t_]:=
Cross[D[r[u],u],
Cross[D[r[u],u],D[r[u],{u,2}]]]/.u->t

Пример.
Возьмем кривую
f1[t_]:={Cos[t]^3, Sin[t]^3, Cos[2*t]}
Найдем направляющий вектор главной нормали

8- 27 cos3HtL sin6HtL - 27 cos5HtL sin4HtL - 24 cosHtL sin2H2 tL sin2HtL - 24 cos2HtL cosH2 tL sinH2 tL sinHtL + 12 cos3HtL sin2H2 tL,
nv[f1][t]

  - 27 sin3 HtL cos6HtL - 27 sin5HtL cos4HtL - 24 sinHtL sin2H2 tL cos2HtL + 24 cosH2 tL sin2HtL sinH2 tL cosHtL + 12 sin3HtL sin2H2 tL,
  - 18 sinHtL sinH2 tL cos5HtL + 36 cosH2 tL sin2 HtL cos4HtL + 36 cosH2 tL sin4HtL cos2HtL + 18 sin5HtL sinH2 tL cosHtL<
  Упростим
Simplify[%]
9-75 cos HtL sin HtL, - 75 cos HtL sin HtL, 0=
        3       4             4       3


4.5. Отлично! Теперь запишем уравнение главной нормали кривой
nl(a, t) = r(t) + a nv(t)
или
nl[r_][t_, a_]:= r[t] + a*nv[r][t]

Пример.
  Найдем главную нормаль кривой в точке t=1
 Simplify[nl[f1][1,a]]
9-cos H1L I 75 a sin H 1L - 1M , -I 75 a cos H1L - 1M sin H1L, cosH2L=
      3             4                       4            3

  N[%]
{-0.157729 (37.6026a-1.), -0.595823 (6.39158a-1.), -0.416147}
   Нарисуем кривую и главную нормаль в точке t0 (см. рисунок
24):
 t0=Pi/4;
plot1=ParametricPlot3D[Evaluate[nl[f1][t0, a]],
{a, -1, 1},
ViewPoint->{-2.659, -1.717, 1.196},
Axes->False, Boxed → False, DisplayFunction->Identity];
 plot2=ParametricPlot3D[Evaluate[f1[t]],
{t, -Pi/4, Pi/2},
ViewPoint->{-2.659, -1.717, 1.196},
Axes->False, Boxed->False, DisplayFunction->Identity];
 Show[plot1, plot2, Boxed → True,
DisplayFunction->$DisplayFunction];



                                                                                                                              24

Страницы