Электронные промышленные устройства. Кузнецов Б.Ф. - 20 стр.

20

                                 1.3 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

                         Ключевые понятия раздела
                           Понятие случайного процесса. Моменты случайных процессов. Стационарный
                           и эргодический случайный процесс. Автокорреляционная функция.

        Случайные процессы — это изменяющиеся во времени случайные физические величины.
Случайные процессы, для которых независимой переменной является время t , называются также
стохастическими процессами.
        Набор случайных величин при измерении случайного процесса позволяет получить некото-
рые обобщенные параметры изменяющихся во времени случайных функций. Конкретная совокуп-
ность значений, принимаемых случайным процессом, называется реализацией случайного процес-
са. При многократном повторении эксперимента (измерения) получают совокупность реализаций
случайного процесса.
        Изменяющаяся случайная величина может зависеть не только от времени, но и от других
параметров. Тогда имеют дело со случайными функциями нескольких переменных. Функция, зна-
чение которой при каждом данном значении независимой переменной является случайным, назы-
вается случайной.
        Допустим, что в результате каких-либо измерений, получен ансамбль случайных функций
x (t), характеризующих данный стохастический процесс (рис. 1.11). Очевидно, что функции x (t) в
каждый момент времени t k будут иметь различные значения [x i (t)]t = t k = »i (t i ) и, следовательно,
отличаться друг от друга. Это обусловлено различными случайными факторами, воздействующи-
ми на результат измерения. Статистические методы изучения случайных процессов ставят себе
задачей не изучение каждой из функций x i (t), входящих в совокупность функций » (t ), характери-
зующих данный процесс, а изучение свойств всего множества в целом при помощи усреднения
свойств входящих в него функций. Для описания случайных процессов так же, как и случайных
величин, используют дифференциальные и интегральные функции распределения вероятности.
Эти функции позволяют определять моментные и корреляционные функции, которые являются
более простыми, чем функции распределения, но позволяют оценивать поведение случайных про-
цессов во времени более зримо.
       Если действительный случайный процесс » (t ) характеризуется плотностью распределения
p(x; t), то математическое ожидание процесса, соответствующее времени t , будет:

                                                                          ,                      (1.17)

      Другими словами, математическое ожидание представляет собой статистическое усредне-
ние случайной величины » (t ), под которым понимают усреднение по ансамблю реализаций в ка-
ком либо фиксированном сечении t i случайного процесса.Математическое ожидание m» (t) пред-
ставляет собой неслучайную составляющую случайного процесса » (t).
      Для характеристики внутренней связи действительного случайного процесса определяется
момент второго порядка, называемый ковариационной функцией:

                                                                                       ,

где x 1 и x 2 берутся соответственно в моменты времени t 1 и t 2и могут принимать значения на всей
области изменения x , p(x 1 ; x 2 ; t 1 ; t 2 ) - двумерная функция плотности вероятности. Для вычисле-
ния этой функции при фиксированных моментах времени t 1 и t 2определяются попарно значения
x 1 (t 1) и x 2 (t 2) для всех реализаций случайного процесса. Затем строится двумерная функция
p(x 1 ; x 2 ).