Электронные промышленные устройства. Кузнецов Б.Ф. - 21 стр.

                                                                                                   21




                         Рис. 1.11. Реализации случайных эргодических процессов

      Центральный момент второго порядка называется автокорреляционной, или корреляционной
функцией (АКФ):

                                                                                                (1.18)


который следующим образом связан с ковариационной функцией:
                             K » (t 1; t 2 ) = R» (t 1 ; t 2) + m» (t 1 ) m» (t 2),
m» (t 1 ) и m» (t 2 ) - математическое ожидание случайного процесса » (t ) в моменты времени t 2 и t 2
соответственно.
        Представленные выше характеристики случайных процессов определялись через соответ-
ствующие средние значения большого числа реализаций случайных процессов, т.е. с помощью
анализа результатов измерений «поперек процесса». Оказывается, что для многих случайных про-
цессов указанные характеристики можно получить путем усреднения «вдоль процесса», т.е. по
одной реализации достаточно большой длительности. Такие случайные процессы относятся к эр-
годическим, представляющим собой разновидность случайных стационарных процессов. Приве-
дем определения этих процессов.
        Эргодический процесс- случайный процесс, статистические свойства которого могут быть
определены по одной его реализации достаточно большой длительности и для которого средние
значения (моменты) по времени равны средним значениям по ансамблю.
        Стационарный процесс- это случайный процесс, характеристики которого не зависят от
начала отсчета во времени.
        Стационарность процесса является необходимым, но не достаточным условием для призна-
ния процесса эргодическим. Эргодичность -более жесткое требование стабильности и воспроизво-
димости случайного процесса. Например, случайный процесс вида »(t) = A cos(! 0 t + ' ), где ам-
плитуда A и начальная фаза процесса ' - независимые случайные величины, принимающие раз-
личные значения для разных реализаций, является стационарным, но не эргодическим. Среднее по
времени и ансамблю реализаций m » = 0.
        Если полагать равновероятность появления фазы в диапазоне от Ў1 до Ў ј , то КФ, опреде-
                                                                                 © Є
ленная с помощью усреднения по ансамблю, будет иметь вид R» (ї ) = 0:5M A 2 cos(! 0 ї ), а с
помощью усреднения по времени (по k -й реализации) -R» (ї ) = 0:5A 2 cos(! 0 ї ).
        Таким образом, для этого стационарного процесса КФ, определенная по одной реализации,
не равна КФ, найденной по ансамблю.
        Для случайного эргодического процесса можно записать следующие соотношения:

                                                                                      ;