Элементы квантовой механики. Кузнецов В.Л - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

2. КВАНТОВЫЕ СОСТОЯНИЯ ЧАСТИЦ
Основные теоретические сведения
В классической механике состояние частицы задается радиусом-вектором
r
r
и импульсом
p
r
, изменение которых определяется с помощью второго зако-
на Ньютона. В физике микромира, из-за соотношения неопределенностей, клас-
сическое определение состояния утрачивает смысл и можно говорить лишь о
вероятности обнаружения частицы в той или иной области пространства. Эта
вероятность определяется через
волновую функцию (пси-функцию)
Ψ
(x,y,z,t),
которая является решением уравнения Шредингера и задает
состояние мик-
рочастицы. Для стационарных (не зависящих от времени) состояний волновая
функция распадается на два множителя и принимает вид
Ψ
(x,y,z,t)=
ψ
(x,y,z)
E
it
e
−
⋅
h
, где — E энергия частицы.
Уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет вид
2
2
2
ψ Uψ Eψ
m
−∇+=
h
или
()
2
2
2
0
m
ψ EUψ
∇
+−=
h
.
В этом случае вероятность
dW обнаружения частицы в элементе объема dV
в окрестности некоторой точки с координатами {
x,y,z} определяется по форму-
ле
dW = |
Ψ
(x,y,z,t)|
2
dV = |
ψ
(x,y,z)|
2
dV =
ρ
(x,y,z) dV, (2.1)
где величина
ρ
(x,y,z)= |
ψ
(x,y,z)|
2
называется плотностью вероятности.
Для определения вероятности
W обнаружения частицы в объеме V
o
необхо-
димо проинтегрировать это выражение:
()
2
,,
o
V
W ψ xyz dV=
∫
. (2.2)
Соответственно, в одномерном случае вероятность обнаружения частицы в
пределах области [x
1
,x
2
] равна
()
2
1
2
x
x
W ψ xdx=
∫
, (2.3)
а в случае сферической симметрии задачи вероятность обнаружения частицы в
сферическом слое в пределах значений расстояний от центра от
r
1
до r
2
()
2
1
2
2
4
r
r
W ψ r πrdr=⋅
∫
. (2.4)
Учитывая, что вероятность достоверного события равна 1, можно написать
условие нормировки для
ψ
-функции
()
2
1ψ xdx
+
∞
=
−
∞
∫
. (2.5) 
                2. КВАНТОВЫЕ СОСТОЯНИЯ ЧАСТИЦ

                  Основные теоретические сведения

    В классической механике состояние частицы задается радиусом-вектором
r                r
r и импульсом p , изменение которых определяется с помощью второго зако-
на Ньютона. В физике микромира, из-за соотношения неопределенностей, клас-
сическое определение состояния утрачивает смысл и можно говорить лишь о
вероятности обнаружения частицы в той или иной области пространства. Эта
вероятность определяется через волновую функцию (пси-функцию) Ψ(x,y,z,t),
которая является решением уравнения Шредингера и задает состояние мик-
рочастицы. Для стационарных (не зависящих от времени) состояний волновая
функция распадается на два множителя и принимает вид
                                               E
                                          −i        t
                Ψ(x,y,z,t)= ψ(x,y,z) ⋅e
                                    , где — E энергия частицы.
                                               h

    Уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет вид
            h2 2                                2m
          −    ∇ ψ + Uψ = Eψ    или       ∇ 2ψ + 2 ( E − U ) ψ = 0 .
            2m                                  h

     В этом случае вероятность dW обнаружения частицы в элементе объема dV
в окрестности некоторой точки с координатами {x,y,z} определяется по форму-
ле
                      dW = |Ψ(x,y,z,t)|2 dV = |ψ(x,y,z)|2 dV = ρ(x,y,z) dV, (2.1)
где величина ρ(x,y,z)= |ψ(x,y,z)| называется плотностью вероятности.
                                 2

    Для определения вероятности W обнаружения частицы в объеме Vo необхо-
димо проинтегрировать это выражение:
                                                              2
                                 W=   ∫    ψ ( x, y, z ) dV .               (2.2)
                                      Vo
    Соответственно, в одномерном случае вероятность обнаружения частицы в
пределах области [x1,x2] равна
                                           x2
                                                         2
                                   W=      ∫       ψ ( x ) dx ,             (2.3)
                                           x1
а в случае сферической симметрии задачи вероятность обнаружения частицы в
сферическом слое в пределах значений расстояний от центра от r1 до r2
                                               r2
                                                          2
                                    W = ∫ ψ ( r ) ⋅ 4πr 2 dr .              (2.4)
                                               r1
    Учитывая, что вероятность достоверного события равна 1, можно написать
условие нормировки для ψ-функции
                                +∞
                                          2
                                 ∫ ψ ( x ) dx = 1 .                   (2.5)
                                −∞

Страницы