Элементы квантовой механики. Кузнецов В.Л - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Знание волновой функции позволяет определить средние значения физи-
ческих величин по формуле
СР
ˆ
*A ψ Aψ dx
+
∞
−∞
=
∫
, (2.6)
где
ˆ
A
— линейный оператор соответствующей физической величины A (см.
таблицу 2.1),
ψ
* — волновая функция, комплексно сопряженная
ψ
.
Таблица 2.1. Операторы физических величин.
Величина в классической
механике
Сокращенная
запись оператора
Вид оператора
Координата x
ˆ
x
x
Проекция импульса p
x
ˆ
x
p
i
x
∂
−
∂
h
Кинетическая энергия T
ˆ
T
2
2
2m
−∇
h
Потенциальная энергия U(r)
ˆ
U
U(r)
Величина, являющаяся
функцией координаты f(x)
(
)
ˆ
x
f(x)
Дополнительную информацию о степени разброса величины A можно по-
лучить, определив
среднее квадратичное отклонение от средней величины по
формуле
()
22
2
ΔδAA AA==−. (2.7)
Вид волновой функции в конкретной задаче находится с помощью соответ-
ствующего уравнения. В частности, решение стационарного уравнения Шре-
дингера для частицы массы m локализованной в
одномерной потенциальной
яме
со стороной l и с абсолютно непроницаемыми стенками дает набор собст-
венных функций
ψ
n
и собственных значений полной энергии E
n
:
2
sin
n
πnx
ψ
ll
=⋅ ,
22
2
2
2
n
π
E
n
ml
=
h
, (2.8)
где n = 1, 2, 3,..., ∞ .
Если потенциальная яма имеет форму куба со стороной l с абсолютно не-
проницаемыми стенками, то собственные функции и собственные значения
энергии зависят от трех квантовых чисел {n
1
, n
2
, n
3
}
123
3
3
12
3
2
sin sin sin
nn n
πnz
πnx πny
ψ
lll
l
=⋅ ⋅ ⋅
, 
    Знание волновой функции позволяет определить средние значения физи-
ческих величин по формуле
                                                +∞
                                                      ˆ dx ,
                                  A    СР
                                            =   ∫ ψ * Aψ                                      (2.6)
                                                −∞
где Â — линейный оператор соответствующей физической величины A (см.
таблицу 2.1), ψ* — волновая функция, комплексно сопряженная ψ.

   Таблица 2.1. Операторы физических величин.

      Величина в классической                 Сокращенная              Вид оператора
            механике                        запись оператора

 Координата                      x                         x̂                        x
                                                                                         ∂
                                                                                   −ih
 Проекция импульса               px                        pˆ x                          ∂x
                                                                                 h2 2
                                                                               −    ∇
 Кинетическая энергия             T                        Tˆ                    2m

 Потенциальная энергия         U(r)                        Û                      U(r)
 Величина, являющаяся
 функцией координаты            f(x)                   fˆ ( x )                     f(x)

    Дополнительную информацию о степени разброса величины A можно по-
лучить, определив среднее квадратичное отклонение от средней величины по
формуле
                                     δA =       ( ΔA ) 2     =    A2 − A
                                                                           2
                                                                               .              (2.7)
     Вид волновой функции в конкретной задаче находится с помощью соответ-
ствующего уравнения. В частности, решение стационарного уравнения Шре-
дингера для частицы массы m локализованной в одномерной потенциальной
яме со стороной l и с абсолютно непроницаемыми стенками дает набор собст-
венных функций ψn и собственных значений полной энергии En:
                                 2        πnx         π 2h2 2
                            ψn =    ⋅ sin     ,  En =       n ,      (2.8)
                                  l        l          2ml 2
 где n = 1, 2, 3,..., ∞ .
     Если потенциальная яма имеет форму куба со стороной l с абсолютно не-
проницаемыми стенками, то собственные функции и собственные значения
энергии зависят от трех квантовых чисел {n1, n2, n3}
                               23       πn1x       πn2 y       πn3 z
                  ψ n1n2n3 =      ⋅ sin      ⋅ sin       ⋅ sin       ,
                               l3        l           l          l

Страницы