Электричество и магнетизм. Ч.1. Ланкина М.П - 17 стр.

       Положительное направление обхода контура выберем по часовой                                      U L + U R + U C =ε 0 sinω t ,            (10)
стрелке. Ток в контуре определяется так:                                   где слева записана сумма напряжений на индуктивности L, сопротивле-
                                           dq                              нии R и емкости С. Таким образом, видно, что сумма этих напряжений в
                                      I=      .                      (3)
                                           dt                              каждый момент времени равна внешней эдс ε. Учитывая соотношения
       Если I>0 , то и dq>0 (то есть знак I совпадает со знаком dq).       (9), запишем:
       По закону Ома для участка цепи 1RL2:                                                         U R =RI=RI 0 sin(ω t −ϕ) ,                   (11)
                           RI = ϕ 1 − ϕ 2 + е 1 + е 2 ,              (4)
                                                                                                 q q0                I0            р
где εs – эдс самоиндукции, ϕ1 и ϕ2 – потенциалы обкладок конденсатора.                      U C = = sin(ω t − ψ )= sin(ω t − ϕ − ) ,             (12)
                                                                                                 C C                 щC            2
В нашем случае:
                                                                                                 dI                                  π
                                        dI              q                                 U L =L =ωLI0 cos(ωt − ϕ)=ωLI0 sin(ωt − ϕ + ) .         (13)
                           ε = −L           ; ϕ1 −ϕ2 = ;             (5)                         dt                                  2
                            s           dt              C
                                                                                  Из последних трех формул видно, что U2 находится в фазе с то-
(знак q должен совпадать со знаком разности ϕ2 – ϕ1, так как С>0). По-     ком I, UC, отстает по фазе от I на π/2. Все это опережает I на π/2. Все это
этому уравнение (4) можно переписать в виде:                               можно наглядно представить с помощью векторной диаграммы, изобра-
                                  dI          q                            зив амплитуды напряжений
                                L + RI + = ε ,                       (6)
                                  dt          C                                                                          I0
       или с учетом (3) и (1)                                                                     U R 0 =RI 0 , U C0 =      , U L0 =щLI0         (14)
                                                                                                                         щC
                            d 2q      dq 1                                 и их векторную сумму Uo, равную, согласно (10), вектору величины εe
                           L 2 +R          + q =е 0 sinщ t .         (7)
                            dt         dt C                                (рис. 2).
       Решение этого уравнения, как известно из математики, представ-
ляет собой сумму общего решения однородного уравнения (без правой            щLI 0
части) и частного решения неоднородного уравнения.
       Нас будут интересовать только установившиеся колебания, то
есть частное решение уравнения (7) (общее решение однородного урав-                     U0 = ε0                      ⎛       1 ⎞
                                                                                                                     ⎜ щL −    ⎟ I0
нения экспоненциально затухает со временем). Нетрудно убедиться, что                                                 ⎝      щC ⎠
это частное решение имеет вид                                                                     ϕ
                                q=q 0 sin(ω t −ψ ) ,                 (8)
                                                                                I0           ψ
где q0 – амплитуда заряда на конденсаторе, ψ – разность фаз между ко-                                       RI 0
лебаниями заряда и внешней эдс ε (1). Необходимо найти постоянные q0            ωC
и ψ. Наиболее просто это будет сделать, если сначала найти ток I.
       Продифференцируем (8) по t , найдем
        I=щq0 cos(щ t −ш)=щq0sin(щ t −ш+ р 2) .
                                                                                                                   Рис. 2

      Перепишем это так: I=I 0 sin(ω t −ϕ) ,                                    Из прямоугольного треугольника этой диаграммы легко получить
                                                                           следующие выражения для I0 и ϕ:
      то есть получили выражение (2),
                                                                                                            ε0
      где I 0 =ω q 0 ; ϕ=ш−р 2 .                                                               I0 = −                ,                  (15)
                                                                                                                 1 2
      Наша задача – найти I0 и ϕ. С этой целью представим исходное                                     R +(ωL −
                                                                                                         2
                                                                                                                   )
                                                                                                                щC
уравнение (7) в виде

                                  33                                                                                 34