Электричество и магнетизм. Ч.1. Ланкина М.П - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОмГУ | Омск

Составители: 

Рубрика: 

43
,
е
q
SdE
0
i
i
S
∑
∫
=
G
G
где
,ndSSd
G
G
⋅=
n
G
– внешняя нормаль к элементу поверхности dS .
В качестве примера рассчитаем электрическое поле цилиндричес-
кого конденсатора, который представляет собой систему двух разноимен-
но заряженных коаксиальных цилиндров разного диаметра. Для просто-
ты считаем конденсатор бесконечно длинным.
Вначале найдем поле бесконечно длинного цилиндра, заряженного
с постоянной поверхностной плотностью С. Радиус цилиндра R (рис. 1).
R
r
ι
Рис. 1
Из соображений симметрии следует, что вектор напряженности
поля
E
G
в любой точке пространства должен быть направлен вдоль ра-
диальной прямой, перпендикулярной к оси цилиндра, и, таким образом,
величина напряженности может зависеть только от расстояния r от оси
цилиндра. Проведем мысленно коаксиальную с заряженной поверхно-
стью замкнутую цилиндрическую поверхность S радиуса r и длины l.
Рассчитаем поток вектора
E
G
через эту поверхность.
1. r>R.
,
е
Sу
dSу
е
1
е
q
SdE
0
0
00
∫∫
⋅
=⋅==⋅
G
G
S=2S
1
+S
2
=2πr
2
+2πrl, S
0
=2πrl,
где S
1
– площадь основания выбранной цилиндрической поверхности,
S
2
–
ее боковая поверхность. Интеграл по замкнутой поверхности S мож-
но представить как сумму интегралов:
.SE(r)SdESdE2SdE
21
S
2
SS
∫∫∫
⋅=⋅+⋅=⋅
G
G
G
G
G
G
44
Здесь интеграл
∫
=⋅
1
S
0SdE
G
G
, так как в любой точке площади основа-
ния мысленно проведенного цилиндра .SdE
G
G
⊥
Таким образом, использование теоремы Гаусса приводит к сле-
дующему уравнению относительно неизвестной функции Е(r):
.
rе
Rу
е
Sу
SE(r)
00
0
2
⋅
⋅
⇒
⋅
=⋅
(1)
2. r<R.
∫
=⋅
S
0SdE
G
G
(так как внутри поверхности S при r < R нет электриче-
ских зарядов). Отсюда в силу произвольности выбора поверхности S
можно утверждать, что
E(r)=0, r<R. (2)
Перейдем к расчету поля в цилиндрическом конденсаторе (рис. 2).
-
−
E
G
+
E
G
+
E
G
R
1
R
2
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
--
-
-
Рис. 2
С учетом принципа суперпозиции электрических полей и полу-
ченных выражений (l) – (2) получается, что поле внутри малого (r< R
1
) и
вне большого (r>R
2
) цилиндров равно нулю, а в пространстве между
цилиндрами (R
1
< r< R
2
) определяется выражением (1) при R=R
1
. Ис-
пользуя формулу ϕ−= gradE
G
, можно определить, как меняется потенци-
ал электрического поля
,dr)r(Erd)r(E)r(d
rrr
∫∫∫
∞∞∞
⋅−=⋅−=ϕ−=ϕ
G
G
                                                                                                 G G
                                 G G ∑q i                                    Здесь интеграл ∫E⋅dS=0 , так как в любой точке площади основа-
                               ∫EdS= е ,
                                     i
                                                                                              S1
                               S       0                                                                         G       G
     G        G G                                                       ния мысленно проведенного цилиндра E ⊥ dS.
где dS = dS ⋅ n, n – внешняя нормаль к элементу поверхности dS .             Таким образом, использование теоремы Гаусса приводит к сле-
      В качестве примера рассчитаем электрическое поле цилиндричес-     дующему уравнению относительно неизвестной функции Е(r):
кого конденсатора, который представляет собой систему двух разноимен-                                      у⋅S  у⋅R
но заряженных коаксиальных цилиндров разного диаметра. Для просто-                                E(r)⋅S2 = 0 ⇒        .                 (1)
                                                                                                            е0  е 0 ⋅r
ты считаем конденсатор бесконечно длинным.
      Вначале найдем поле бесконечно длинного цилиндра, заряженного          2. rR.
         G G q 1           у⋅S0                                               С учетом принципа суперпозиции электрических полей и полу-
        ∫E⋅dS= е = е ∫у⋅dS= е ,                                         ченных выражений (l) – (2) получается, что поле внутри малого (r< R1) и
                0   0        0
                                                                        вне большого (r>R2) цилиндров равно нулю, а в пространстве между
       S=2S1+S2=2πr2+2πrl, S0=2πrl,
                                                                        цилиндрами (R1< r< R2) определяется выражением (1) при R=R1. Ис-
где S1 – площадь основания выбранной цилиндрической поверхности,                          G
S2 – ее боковая поверхность. Интеграл по замкнутой поверхности S мож-   пользуя формулу E = −gradϕ , можно определить, как меняется потенци-
но представить как сумму интегралов:                                    ал электрического поля
                           G G     G G G G                                                ∞                 ∞G                ∞
                                                                                                                        G
                          ∫E⋅dS=2 ∫E⋅dS+ ∫E⋅dS=E(r)⋅S2 .                                   ∫ dϕ = −ϕ(r ) = − ∫ E(r ) ⋅ d r = − ∫ E(r ) ⋅ dr,
                      S       S1        S2
                                                                                                r                  r                 r



                                       43                                                                              44

Страницы