ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3
§ 1. Производная и дифференциал . Геометрический и физический
смысл производной и дифференциала. Свойства производной ,
связанные с арифметическими операциями над функциями
Пусть функция
()
yfx
=
определена в некоторой окрестности
0
(;)
Ux
δ
точки
00
,.
xxR
∈
Придадим аргументу функции приращение
,
x
∆
0||,
x
δ
<∆<
и обозначим через
y
∆
соответствующее приращение
функции,
00
()().
yfxxfx
∆=+∆−
Составим , далее, разностное отношение
00
()()
,
fxxfx
y
xx
+∆−
∆
=
∆∆
(1.1)
0||.
x
δ
<∆<
Разностное отношение (1.1) как функция переменной
x
∆
определено в
проколотой окрестности
0
(0;)
U
δ
точки
0.
x
∆=
Определение . Предел при
0
x
∆→
разностного отношения (1.1), если
он существует , называется производной функции
()
yfx
=
в точке
0
x
и
обозначается
0
()
fx
′
или просто
.
y
′
Таким образом ,
00
0
00
()()
()limlim.
def
xx
fxxfx
y
fx
xx
∆→∆→
+∆−
∆
′
==
∆∆
Полагая
0
,
xxx
+∆=
можно записать, что
0
0
0
0
()()
()lim.
xx
fxfx
fx
xx
→
−
′
=
−
Замечание . Предел в определении производной предполагается либо
конечным, либо определённого знака бесконечным. Если
0
()fx
′
=+∞
или
0
(),
fx
′
=−∞
то говорят о бесконечной производной . В дальнейшем под
производной , если не оговорено противное , будем понимать конечную
производную.
Операцию вычисления производной называют дифференцированием .
3
§ 1. Производная и дифференциал. Геометрический и физический
смысл производной и дифференциала. Свойства производной,
связанные с арифметическими операциями над функциями
Пусть функция y = f ( x ) определена в некоторой окрестности U ( x0 ; δ )
точки x0 , x0 ∈ R . Придадим аргументу функции приращение ∆ x ,
0 <∆
| x | <δ , и обозначим через ∆ y соответствующее приращение
функции,
∆ y = f ( x0 +∆ x ) − f ( x0 ).
Составим, далее, разностное отношение
f ( x0 +∆ x ) − f ( x0 ) ∆y
= , (1.1)
∆x ∆x
0 <| ∆ x | <δ .
Разностное отношение (1.1) как функция переменной ∆ x определено в
0
проколотой окрестности U ( 0; δ ) точки ∆ x =0.
Определение. Предел при ∆ x → 0 разностного отношения (1.1), если
он существует, называется производной функции y = f ( x ) в точке x0 и
обозначается f ′ ( x0 ) или просто y ′ .
Таким образом,
de f
f ( x0 +∆ x ) − f ( x0 ) ∆y
f ′ ( x0 ) = lim = lim .
∆x→ 0 ∆x ∆x→ 0 ∆ x
Полагая x0 +∆ x = x , можно записать, что
f ( x ) − f ( x0 )
f ′( x0 ) = lim .
x → x0 x − x0
Замечание. Предел в определении производной предполагается либо
конечным, либо определённого знака бесконечным. Если f ′( x0 ) =+∞ или
f ′( x0 ) =−∞, то говорят о бесконечной производной. В дальнейшем под
производной, если не оговорено противное, будем понимать конечную
производную.
Операцию вычисления производной называют дифференцированием.
