Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 4 стр.

                                                4
  Приведённые выше обозначения для производной принадлежат
Лагранжу.
  Для обозначения производной используют также следующие символы:

                   dy     df ( x0 )
                      или           - обозначения Лейбница;
                   dx       dx

                   Dy или Df ( x0 ) − обозначения Коши.

                                                                        df
  Иногда производную обозначают и так: y′x , f x′ ,                        | x =x0 .
                                                                        dx

                          Односторонние производные

  Определение. Предел

                       f ( x0 +∆ x ) − f ( x0 )            f ( x ) − f ( x0 )
             lim                                = lim                         ,
            ∆ x → +0            ∆x               x → x0 +0      x − x0

если он существует, называется производной функции f ( x ) в точке
x0 справа (или правой производной) и обозначается f +′ ( x0 ). Предел

                       f ( x0 +∆ x ) − f ( x0 )            f ( x ) − f ( x0 )
             lim                                = lim                         ,
            ∆ x → −0            ∆x               x → x0 −0      x − x0

если он существует, называется производной функции f ( x ) в точке
x0 слева (или левой производной) и обозначается f −′ ( x0 ).
   Производные     слева   и   справа    называются          односторонними
производными.
   Сделанное ранее замечание относится и к односторонним производным.

   Из свойств пределов функций следует, что производная функции f ( x )
в точке x0 существует тогда и только тогда, когда в этой точке
существуют обе односторонние производные f −′ ( x0 ), f +′ ( x0 ), и они
совпадают между собой. При этом

                              f ′ ( x0 ) = f +′ ( x0 ) = f −′ ( x0 ).

  Отметим, что под производной функции в граничной точке промежутка
понимают соответствующую одностороннюю производную. Так, если
функция f ( x ) рассматривается на отрезке [ a ; b ], то под производной в