Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

6
Замечание 2. Поскольку
()
xx
α
∆∆
есть величина
()
ox
∆
при
x
∆→
то условие (1.2) можно записать в виде
(),0.
yAxoxx
∆=∆+∆∆→
(1.3)
Определение . Линейная функция
Ax
∆
аргумента
x
∆
называется
дифференциалом функции
()
yfx
=
в точке
0
и обозначается
0
()
dfx
или
просто
.
dy
Таким образом ,
(),0,
ydyoxx
∆=+∆∆→
(1.4)
где
.
dyAx
=∆
Заметим , что если
0,
A
≠
то имеет место соотношение
()(),
oxoAx
∆=∆
поскольку
0
()
lim0,
x
ox
Ax
∆→
∆
=
∆
и условие (1.4) можно записать в виде
()(),0.
ydyoAxdyodyx
∆=+∆=+∆→
(1.5)
Это означает , что величины
y
∆
и
dy
эквивалентны при
0.
x
∆→
При
этом
dy
есть главная , причём линейная относительно
x
∆
часть
приращения
.
y
∆
Для симметрии записи в случае, когда
x
есть независимая переменная ,
полагают
,
def
dxx
=∆
так что
.
dyAdx
=
Теорема. Для того чтобы функция
()
yfx
=
была дифференцируемой в
точке
0
,
x
необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке
конечную производную
0
().
fx
′
При этом
0
().
dyfxdx
′
=
Доказательство
Необходимость. Пусть функция
()
fx
дифференцируема в точке
0
.
x
Тогда существует
0
δ
>
такое , что для
,||
xx
δ
∀∆∆<
для
соответствующего приращения
y
∆
этой функции в точке
0
x
справедливо 
                                        6
   Замечание 2. Поскольку α ( ∆ x) ∆ x есть величина o( ∆ x ) при ∆ x → 0,
то условие (1.2) можно записать в виде

                         ∆ y = A ∆ x + o( ∆ x ) , ∆ x → 0.            (1.3)

   Определение. Линейная функция A ∆ x аргумента ∆ x называется
дифференциалом функции y = f ( x ) в точке x0 и обозначается df ( x0 ) или
просто dy .
   Таким образом,
                             ∆ y =dy +o( ∆ x ) , ∆ x → 0,             (1.4)
где dy = A ∆ x .
   Заметим, что если            A ≠0, то имеет место соотношение
o( ∆ x ) =o( A ∆ x ), поскольку
                                       o( ∆ x )
                                lim             =0,
                                ∆ x→ 0  A∆ x

и условие (1.4) можно записать в виде

                     ∆ y =dy +o( A ∆ x ) =dy +o( dy ), ∆ x → 0.       (1.5)

   Это означает, что величины ∆ y и dy эквивалентны при ∆ x → 0. При
этом dy есть главная, причём линейная относительно ∆ x часть
приращения ∆ y .
   Для симметрии записи в случае, когда x есть независимая переменная,
полагают
                                      de f
                                  dx = ∆ x ,
так что dy = Adx .

   Теорема. Для того чтобы функция y =f ( x) была дифференцируемой в
точке x0 , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке
конечную производную f ′( x0 ). При этом

                                dy = f ′( x0 ) dx .

                                Доказательство

   Необходимость. Пусть функция f ( x ) дифференцируема в точке x0 .
Тогда существует δ >0 такое, что для ∀ ∆ x , | ∆ x | <δ для
соответствующего приращения ∆ y этой функции в точке x0 справедливо

Страницы