Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

8
а это и означает , что функция
()
yfx
=
непрерывна в точке
0
.
x
Теорема доказана.
Геометрический смысл производной и дифференциала
Пусть функция
()
yfx
=
определена в некоторой окрестности
0
Ux
точки
0
,
x
непрерывна в точке
0
,
x
и пусть
000000
(),(;).
yfxMMxy
==
Зафиксируем произвольное приращение аргумента
0
x
∆≠
таким , чтобы
выполнялось условие
00
(),
xxUx
+∆∈
и пусть
00
()(),
yfxxfx
∆=+∆−
1100
(;).
MMxxyy
=+∆+∆
Прямая , проходящая через точки
0
M
и
1
,
M
называется секущей к графику функции
()
yfx
=
(см . рис. 1.1).
Уравнение секущей имеет вид
00
()().
y
yxxfx
x
∆
=−+
∆
(1.8)
Определение . Пусть задано семейство прямых уравнениями
()()()0,
atxbtyct
++=
(1.9)
где
t
−
параметр, и пусть существуют конечные пределы
0
M
1
M
0
x
0
xx
+∆
y
∆
Рис . 1.1
y
x
                                          8
а это и означает, что функция y = f ( x ) непрерывна в точке x0 .
   Теорема доказана.

         Геометрический смысл производной и дифференциала

   Пусть функция y = f ( x ) определена в некоторой окрестности U ( x0 )
точки x0 , непрерывна в точке x0 , и пусть y0 = f ( x0 ) , M 0 = M 0 ( x0 ; y0 ).
Зафиксируем произвольное приращение аргумента ∆ x ≠0 таким, чтобы
выполнялось условие x0 +∆ x ∈U ( x0 ) , и пусть ∆ y = f ( x0 +∆ x ) − f ( x0 ),
M 1 = M 1 ( x0 +∆ x ; y0 +∆ y ). Прямая, проходящая через точки M 0 и M 1 ,
называется секущей к графику функции y = f ( x ) (см. рис. 1.1).



     y

                                              M1




                                                       ∆y

                    M0


                                                                 x

                      x0                      x0 +∆ x

                                    Рис. 1.1

Уравнение секущей имеет вид

                                 ∆y
                            y=      ( x − x0 ) + f ( x0 ).                  (1.8)
                                 ∆x

   Определение. Пусть задано семейство прямых уравнениями

                             a ( t ) x +b(t ) y +c (t ) =0,                 (1.9)

где t − параметр, и пусть существуют конечные пределы

Страницы