Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 10 стр.

                                              10

    y
                                 y = f ( x)




                                                                ∆y

                                                        dy
                      M0


                                                                x

                            x0                x0 +∆ x


                                     Рис. 1.2

      Рассмотрим теперь случай бесконечной производной. Пусть,
например, f ′ ( x0 ) =+∞. При этом мы будем предполагать, что функция
y = f ( x ) непрерывна в точке x0 . Запишем уравнение (1.8) в виде

                               y            y
                                 = x − x0 + 0 .
                              ∆y           ∆y
                              ∆x           ∆x

Переходя в этом уравнении к пределу при ∆ x → 0, получим уравнение
касательной в виде
                       0 = x − x0 , т. е. x = x0 ,

т. е. в рассматриваемом случае в точке M 0 ( x0 ; f ( x0 ) ) у графика функции
 y = f ( x ) существует вертикальная касательная.

      Пусть теперь в точке x0 у функции y = f ( x ) существуют конечные
односторонние производные, не равные между собой. В этом случае
говорят об односторонних касательных к графику функции y = f ( x ) в
точке M 0 ( x0 ; f ( x0 )). Уравнение касательной слева к графику функции
 y = f ( x ) в точке M 0 ( x0 ; f ( x0 )) получаем, заменяя в уравнении (1.10)
 f ′ ( x0 ) на f −′ ( x0 ), а уравнение касательной справа – заменяя f ′ ( x0 ) на
 f +′ ( x0 ).