Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 9 стр.

                                                       9
                     lim a (t ) =a , lim b(t ) =b , lim c (t ) =c .
                     t → t0                  t → t0            t → t0



Тогда говорят, что прямые семейства (1.9) при t → t0 стремятся к
предельному положению – прямой, уравнение которой имеет вид

                                       a x + b y + c =0.

   Возьмём в уравнении для секущих в качестве параметра t величину
∆ x.
   Определение. Предельное положение при ∆ x → 0 секущих (1.8)
называется касательной к графику функции y = f ( x ) в точке
M 0 ( x0 ; f ( x0 )).
   Чтобы прямые семейства (1.8) стремились к предельному положению
(касательной), отличному от вертикальной прямой, необходимо и
достаточно, чтобы существовал конечный предел

                                                       ∆y
                                               lim        ,
                                               ∆x→ 0   ∆x

т. е. чтобы существовала конечная производная                            f ′ ( x0 ). При этом
уравнение касательной имеет вид

                                 y = f ′ ( x0 ) ( x − x0 ) + f ( x0 ).                 (1.10)

  Заметим, что в силу непрерывности функции f ( x ) в точке x0
выполнено   условие   lim ∆ y =0,  и   потому      lim | M 0 M 1 | =
                                    ∆ x→ 0                                   ∆x→ 0

 = lim      ( ∆ x )2 +( ∆ y )2 = 0, т. е. точка               M 1 «стремится» к точке M 0 ,
   ∆ x→ 0

оставаясь на графике функции y =f ( x).

   Из уравнения (1.10) следует, что f ′ ( x0 ) = tg α , где α − угол между
касательной и положительным направлением оси O x .

   Обозначим в уравнении (1.10) ординату касательной через y кас , x − x0
через ∆ x . Тогда это уравнение примет вид

                              y кас − y0 = f ′ ( x0 ) ∆ x = df ( x0 ).

   Таким образом, df ( x0 ) есть приращение ординаты касательной при
данном ∆ x (см. рис. 1.2).