Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 11 стр.

                                                11
           Физический смысл производной и дифференциала

   Пусть переменные x и y = f ( x ) являются некоторыми физическими
величинами и пусть переменная x изменяется на отрезке [a ; b].
Фиксируем произвольное значение переменной                x =x0 ∈[ a ; b ] и
придадим величине x0 приращение ∆ x ≠0 такое, чтобы выполнялось
                                       f ( x0 +∆ x ) − f ( x0 )
условие x0 +∆ x ∈[ a ; b ]. Величину                              называют
                                                ∆x
средней скоростью изменения величины y относительно переменной x на
отрезке с концами x0 и x0 +∆ x . Конечный предел

                                      f ( x0 +∆ x ) − f ( x0 )
                             lim                               ,
                             ∆x → 0            ∆x

если он существует, называется скоростью изменения переменной y
относительно переменной              x   в точке     x0 . В этом случае
∆ y = f ′( x0 ) dx +o( dx ), т. е. приращение ∆ y зависит линейным образом
от dx с точностью до бесконечно малой более высокого порядка, чем dx.
При этом дифференциал dy = f ′ ( x0 ) dx есть величина, на которую
изменится значение переменной y на отрезке с концами x0 и x0 +∆ x ,
если эта переменная будет изменяться на указанном отрезке с постоянной
скоростью f ′ ( x0 ).


 Свойства производной, связанные с арифметическими операциями
                         над функциями


   Справедливо следующее утверждение.

   Теорема. Если функции y1 ( x ) и y 2 ( x ) определены в некоторой
окрестности U ( x0 ) точки x0 ∈R и имеют в этой точке конечные
производные, то функции λ1 y1 ( x ) +λ2 y2 ( x ) , где λ1 , λ 2 −произвольные
постоянные, y 1 ( x ) ⋅ y 2 ( x ) также имеют в точке x0 конечные производные,
причём справедливы равенства

                   (λ1 y 1 +λ2 y 2 )′( x0 ) =λ1 y ′1 ( x0 ) +λ2 y ′2 ( x0 ),                 (1.11)

                   ( y 1 ⋅ y 2 )′( x0 ) = y ′1 ( x0 ) y 2 ( x0 ) + y 1 ( x0 ) y ′2 ( x0 ).   (1.12)