Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

12
Если выполнено условие
20
()0,
yx
≠
то и функция
12
()/()
yxyx
имеет в
точке
0
x
конечную производную, причём верно равенство
110202010
0
2
220
()()()()
(())
yyxyxyxyx
x
yyx
′
′′
−
=



(1.13)
Доказательство. Пусть
1122
()()(),
yxyxyx
λλ
=+
где
1
λ
и
2
λ
−
произвольные фиксированные постоянные, и пусть
110
(),
yyx
=
220
().
yyx
=
Придадим аргументу функций в точке
0
x
приращение
0
x
∆≠
такое, чтобы выполнялось условие
00
(),
xxUx
+∆∈
и пусть
12
,
yy
∆∆
и
y
∆
- приращения в точке
0
x
соответственно функций
12
(),()
yxyx
и
().
yx
В этих обозначениях имеем
11122211221122
()()().
yyyyyyyyy
λλλλλλ
∆=+∆++∆−+=∆+∆
Поэтому
12
12
.
yy
y
xxx
λλ
∆∆
∆
=+
∆∆∆
(1.14)
Переходя в равенстве (1.14) к пределу при
0,
x
∆→
получим , что
1212
1212
0000
limlim()limlim
xxxx
yyyy
y
xxxxx
λλλλ
∆→∆→∆→∆→
∆∆∆∆
∆
=+=+=
∆∆∆∆∆
110220
()(),
yxyx
λλ
′′
=+
т.е. функция
()
yx
имеет в точке
0
x
конечную производную и справедливо
равенство (1.11).
Пусть теперь
12
()()().
yxyxyx
=⋅
В прежних обозначениях имеем
112212211212
()().
yyyyyyyyyyyyy
∆=+∆+∆−=∆+∆+∆∆
Поэтому
121
212
.
yyy
y
yyy
xxxx
∆∆∆
∆
=++∆
∆∆∆∆
(1.15) 
                                                 12
   Если выполнено условие y 2 ( x0 ) ≠0, то и функция y 1 ( x ) / y 2 ( x ) имеет в
точке x0 конечную производную, причём верно равенство


                       � y� 1 ′      ′ y 1 ( x0 ) y 2 ( x0 ) − y ′2 ( x0 ) y 1 ( x0 )
                        �� �� ( x0 ) =                               2
                                                                                      .            (1.13)
                            y
                          � � 2                        ( y 2 ( x0 ))


   Доказательство. Пусть               y ( x ) =λ1 y 1 ( x ) +λ2 y 2 ( x ) , где          λ1   и     λ2 −
произвольные        фиксированные               постоянные,            и     пусть         y 1 =y 1 ( x0 ),
y2 = y 2 ( x0 ).     Придадим аргументу функций в точке x0 приращение
∆ x ≠0 такое, чтобы выполнялось условие x0 +∆ x ∈U ( x0 ), и пусть
∆ y 1 , ∆ y 2 и ∆ y - приращения в точке x0 соответственно функций
y 1 ( x ) , y 2 ( x ) и y ( x ). В этих обозначениях имеем

 ∆ y =λ1 ( y 1 +∆ y 1 ) +λ 2 ( y 2 +∆ y 2 ) −(λ1 y 1 +λ2 y 2 ) =λ1 ∆ y 1 +λ2 ∆ y 2 .

Поэтому
                                   ∆y     ∆ y1      ∆ y2
                                      =λ1      + λ2      .                                         (1.14)
                                   ∆x     ∆x        ∆x

Переходя в равенстве (1.14) к пределу при ∆ x → 0, получим, что

          ∆y           ∆ y1      ∆ y2               ∆ y1            ∆ y2
 lim         = lim (λ1      + λ2      ) = λ1 lim         + λ2 lim        =
 ∆x → 0   ∆x   ∆x→ 0   ∆x        ∆x          ∆ x→ 0 ∆ x       ∆x→ 0 ∆ x



                                 =λ1 y ′1 ( x0 ) +λ2 y ′2 ( x0 ),

т.е. функция y ( x ) имеет в точке x0 конечную производную и справедливо
равенство (1.11).

   Пусть теперь y ( x ) = y 1 ( x ) ⋅ y 2 ( x ). В прежних обозначениях имеем

     ∆y =( y 1 +∆ y 1 ) ( y 2 +∆ y 2 ) − y 1 y 2 = y 2 ∆ y 1 + y 1 ∆ y 2 +∆ y 1 ∆ y 2 .

Поэтому
                         ∆y      ∆ y1      ∆ y2   ∆ y1
                            = y2      + y1      +      ∆ y2 .                                      (1.15)
                         ∆x      ∆x        ∆x     ∆x

Страницы