Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 14 стр.

                                        14
   Следствие. Умножая формулы (1.11) – (1.13) на d x , получим
следующие соотношения:

                      1) d (λ1 y 1 +λ2 y 2 ) =λ1 dy 1 +λ2 dy 2 ;

                      2) d ( y 1 y 2 ) = y 2 dy 1 + y 1 dy 2 ;

                            � y �1       y 2 dy 1 − y 1 dy 2
                      3) d �      �    =                     .
                             � y �2               y 2
                              � �                   2

   В формулах 1) – 3) все дифференциалы берутся в точке x0 . В формуле
3) предполагается, что y 2 = y 2 ( x0 ) ≠0.

  § 2. Дифференцирование обратной функции и сложной функции.
   Инвариантность формы первого дифференциала относительно
выбора переменной. Производные некоторых элементарных функций.
 Логарифмическая производная. Дифференцирование показательно-
                     степенных выражений

     Сформулируем и докажем следующее утверждение.

     Теорема. Если функция y = f ( x ) непрерывна и строго монотонна в
некоторой окрестности точки x0 и имеет в точке x0 производную
 f ′ ( x0 ) ≠0, то обратная функция x = f −1 ( y ) имеет конечную
производную в точке y0 = f ( x0 ) и справедлива формула

                                 −1
                            df    ( y0 )      1
                                         =           .
                                 dy        df ( x0 )
                                             dx

  Доказательство. Пусть f ( x ) определена, непрерывна и строго
монотонна в окрестности U ( x0 ) точки x0 . Тогда по теореме об обратной
функции обратная функция x = f −1 ( y ) определена, непрерывна и строго
монотонна на интервале V =f (U ( x0 )), y0 = f ( x0 ) ∈V .
   Придадим аргументу функции f −1 ( y ) в точке y = y0 приращение
∆ y ≠0 такое, чтобы выполнялось условие y0 +∆ y ∈V . Тогда функция
    −1
f  ( y ) получит некоторое приращение ∆ x ,
                      ∆ x = f −1 ( y0 +∆ y ) − f −1 ( y0 ) ,
причём ∆ x ≠0 в силу строгой монотонности обратной функции.
  Заметим, что поскольку