Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 15 стр.

                                                          15
                                                               −1
                                                  x0 = f            ( y0 ),
то
                                                               −1
                                       x0 +∆ x = f                  ( y0 +∆ y ),
т. е.
           y0 +∆ y = f ( x0 +∆ x ) и ∆ y = f ( x0 +∆ x ) − f ( x0 ).
  Запишем теперь разностное отношение для производной функции
 −1
f ( y ) в точке y0 в виде

      −1                      −1
  f        ( y0 +∆ y ) − f         ( y0 )        ∆x   1             1
                                            =       =    =                          = ϕ (∆ x ),
                  ∆y                             ∆y   ∆y   f ( x0 +∆ x ) − f ( x0 )
                                                      ∆x            ∆x

считая ∆ x функцией от ∆ y . Отметим, что в силу непрерывности
обратной функции lim ∆ x =0, причём ∆ x ≠0 при ∆ y ≠0. По теореме о
                             ∆ y→ 0

пределе композиции получаем, что

                                                                                 1
                              lim ϕ ( ∆ x ) = lim ϕ ( ∆ x ) =                           .
                             ∆ y→ 0                   ∆x → 0                  df ( x0 )
                                                                                dx

      Поэтому при ∆ y → 0 существует конечный предел разностного
                   ∆x                             df −1 ( y0 )
отношения             , он равен, по определению,              , и справедливо
                   ∆y                                 dy
равенство
                                                 −1
                                            df    ( y0 )      1
                                                         =           .
                                                 dy        df ( x0 )
                                                             dx
      Теорема доказана.

                                                                                            df ( x0 )
      Замечание. Из доказательства теоремы следует, что если                                          =±∞,
                                                                                              dx
            −1
      df
       ( y0 )
то            =0. Так, например, если y = 3 x , то y ′ (0) =+∞, и потому у
      dy
обратной функции x = y 3 производная в точке y = 0 равна нулю.

      Рассмотрим теперь вопрос о дифференцируемости сложной функции.

   Пусть функция x =ϕ ( t ) задана в некоторой окрестности U =U (t0 )
точки t0 , а функция y = f ( x ) в некоторой окрестности V = V ( x0 ) точки