Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

13
Поскольку функция
2
()
yx
дифференцируема в точке
0
,
x
то она
непрерывна в этой точке, и потому
2
0
lim0.
x
y
∆→
∆=
Переходя в равенстве
(1.15) к пределу при
0,
∆→
получим , что
121
2122010
00
limlim()()
xx
yyy
y
yyyyxyx
xxxx
∆→∆→
∆∆∆

∆
′
=++∆=+

∆∆∆∆

1020
()(),
yxyx
′
+
т.е. что функция
()
yx
имеет в точке
0
x
конечную производную и
справедлива формула (1.12).
Наконец , пусть
1
2
()
().
()
yx
yx
yx
= Будем использовать прежние
обозначения .
Отметим , что в силу непрерывности функции
2
()
yx
в точке
0
x
при
достаточно малых
x
∆
величина
2
y
∆
будет мала и будет выполняться
условие
22
0.
yy
+∆≠
Имеем
111211122
222222
()()
()
yyyyyyyyy
y
yyyyyy
+∆+∆−+∆
∆=−==
+∆+∆
1221
222
.
()
yyyy
yyy
∆⋅−∆⋅
=
+∆
Поэтому
12
21
222
.
()
yy
yy
y
xx
xyyy
∆∆
⋅−⋅
∆
∆∆
=
∆+∆
(1.16)
Переходя в равенстве (1.16) к пределу при
0
∆→
, с учётом условия
2
0
lim0
x
y
∆→
∆=
получим , что
10201020
2
0
20
()()()()
lim,
(())
x
yxyxyxyx
y
xyx
∆→
′′
−
∆
=
∆
т.е. что функция
()
yx
имеет в точке
0
x
конечную производную и
справедлива формула (1.13).
Теорема доказана. 
                                                     13
    Поскольку функция y 2 ( x ) дифференцируема в точке x0 , то она
непрерывна в этой точке, и потому lim ∆y 2 =0. Переходя в равенстве
                                                        ∆x → 0

(1.15) к пределу при ∆ x → 0, получим, что

                 ∆y         �   ∆ y1      ∆ y 2 ∆ y1        �
         lim        = lim � y 2      + y1      +     ∆ y 2 � = y 2 ( x0 ) y ′1 ( x0 ) +
         ∆x→ 0   ∆ x ∆ x→ 0 �   ∆x        ∆x     ∆x           �

                                           + y1 ( x0 ) y ′2 ( x0 ),

т.е. что функция y ( x ) имеет в точке x0 конечную производную и
справедлива формула (1.12).
                                y1 ( x)
   Наконец, пусть      y ( x) =          . Будем использовать прежние
                                y 2 ( x)
обозначения.
   Отметим, что в силу непрерывности функции y 2 ( x ) в точке x0 при
достаточно малых ∆ x величина ∆ y 2 будет мала и будет выполняться
условие y 2 +∆ y 2 ≠0. Имеем

                       y 1 +∆ y 1        y1       y 2 ( y 1 +∆ y 1 ) − y 1 ( y 2 +∆ y 2 )
            ∆y =                    −         =                                             =
                       y 2 +∆ y 2      y2              y 2 ( y 2 +∆ y 2 )
                                        ∆ y1 ⋅ y 2 − ∆ y 2 ⋅ y1
                                      =                          .
                                           y 2 ( y 2 +∆ y 2 )
Поэтому
                                                ∆ y1                  ∆ y2
                                                       ⋅y2 −                 ⋅ y1
                                      ∆y   ∆x            ∆x
                                         =                                          .           (1.16)
                                      ∆x     y 2 ( y 2 +∆ y 2 )

Переходя в равенстве (1.16) к пределу при ∆ x → 0 , с учётом условия
lim ∆ y 2 = 0 получим, что
∆ x→ 0



                                ∆y   y ′1 ( x0 ) y 2 ( x0 ) − y 1 ( x0 ) y ′2 ( x0 )
                         lim       =                                                 ,
                        ∆x→ 0   ∆x                     ( y 2 ( x0 ))2

т.е. что функция y( x ) имеет в точке x0 конечную производную и
справедлива формула (1.13).
   Теорема доказана.

Страницы