Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 17 стр.

                                                  17
   Теорема доказана.

  Пример 1. Пусть x =ϕ (t ) =t 2 , y = f ( x ) =sin x , h (t ) = f (ϕ (t )) =sin t 2 .
Тогда ( sin t 2 )′ =cos t 2 ⋅ 2 t = 2 t cos t 2 .

    Инвариантность формы первого дифференциала относительно
                      выбора переменной


    Пусть x - независимая переменная. Если функция y =f ( x)
дифференцируема в точке x0 , то её дифференциал (который также
называют её первым дифференциалом) в этой точке записывается в виде
dy = f ′( x0 ) dx , так что производная f ′( x0 ) представляет собой частное
дифференциалов dy и dx : f ′( x0 ) =dy / dx . Пусть теперь x есть функция от
переменной t , x =ϕ ( t ). Предположим, что ϕ ( t ) дифференцируема в точке
t0 , и пусть x0 =ϕ (t0 ). Тогда сложная функция                   y = f (ϕ (t ))
дифференцируема в точке t0 . Вычислим её дифференциал в этой точке.
Используя формулу для производной сложной функции, получаем

           df (ϕ ( t ))
    dy =                |t =t0 dt = f ′(ϕ (t0 )) ϕ ′(t0 ) dt = f ′(ϕ (t0 )) dϕ (t0 ) = f ′( x0 ) dx .
               dt

Таким образом, и в этом случае дифференциал может быть записан в
форме dy = f ′( x0 ) dx . Данное свойство дифференциала называют
свойством инвариантности его формы относительно выбора переменной.
Таким образом, мы всегда можем записать дифференциал функции
 y =f ( x ) в виде dy = f ′( x0 ) dx , будет ли x независимой переменной или
нет. Следует лишь иметь в виду, что если за независимую переменную
выбрано t , то dx означает не произвольное приращение ∆ x , а
дифференциал x как функции от t , dx =ϕ ′( t0 ) dt . Формула для
производной при этом сохраняется:                f ′( x0 ) = dy / dx (если, конечно,
ϕ ′(t0 ) ≠0 ).

  Перейдём теперь к вычислению производных некоторых элементарных
функций.

   1. Пусть y = c = const . Тогда ∆ y =0 для ∀ ∆ x , и потому y ′ = 0.

  2. Пусть y = x µ , µ∈R , µ ≠0, x >0. Записав разностное отношение для
производной в виде